2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第二课时

第二课时圆与圆的位置关系[学习目标]1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法．2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．3.体会用代数方法处理几何问题的思想.课前自主学习【主干自填】圆与圆的位置关系及判定已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d＝|C1C2|＝________________________.□01x1－x22＋y1－y22则两圆C1，C2有以下位置关系：【即时小测】1．思考下列问题(1)从两圆的交点个数上看，两圆有几种位置关系？提示：有3种．提示(2)从两圆具体位置来看，两圆的位置关系应有几种？相交时两圆圆心距与两圆半径有什么关系？提示：5种．相交时，|r1－r2|dr1＋r2.提示2．圆C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1与圆C2：(x－3)2＋y2＝16的位置关系是()A．相交B．相离C．内切D．外切提示：D圆C1的圆心为点C1(－1，－3)，半径r1＝1，圆C2的圆心为点C2(3,0)，半径r2＝4.两圆圆心的距离|C1C2|＝5，所以|C1C2|＝r1＋r2，故圆C1与圆C2外切，故选D.提示3．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋y2＝m相离，则实数m的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(0,4)D．(0,4]提示：C由条件知C1(0,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝m(m0)，∵两圆相离，∴|C1C2|r1＋r2，即31＋m，∴m4.又m0，∴0m4.提示课堂互动探究例1已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切？(2)圆C1与圆C2内切？[解]圆C1，圆C2的方程经配方后为C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.其中C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2.(1)如果C1与C2外切，则有m＋12＋m＋22＝3＋2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25.∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.答案(2)如果C1与C2内切，则有m＋12＋m＋22＝3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝1，∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2或m＝－1.∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切；当m＝－2或m＝－1时，圆C1与圆C2内切．答案类题通法判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种方法，几何法比代数法简便，解题时一般用几何法.,用几何法判断两圆位置关系的操作步骤：1将两圆的方程化为标准方程.2求两圆的圆心坐标和半径R，r.3求两圆的圆心距d.,4比较d与|R－r|，R＋r的大小关系.[变式训练1]判断圆C1：x2＋y2－6x＝0与C2：x2＋y2＋8y＋12＝0的位置关系．解两圆方程可变形为C1：(x－3)2＋y2＝9，C2：x2＋(y＋4)2＝4，由此可知圆C1的圆心坐标为(3,0)，半径r1＝3，圆C2的圆心坐标为(0，－4)，半径r2＝2.设两圆的圆心距为d，则d＝|C1C2|＝3－02＋0＋42＝5，所以d＝r1＋r2，因此两圆外切.答案例2已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．[解](1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10.又|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10，∴r1－r2|C1C2|r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.答案(3)解法一：两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0，①x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.②两式相减得x＝2y－4，③把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.∴x1＝－4，y1＝0或x2＝0，y2＝2.所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为－4－02＋0－22＝25.答案解法二：两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝52.圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35，设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝5，所以公共弦长2l＝25.答案类题通法求弦长的常用方法(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距先求半弦长，即得弦长．(2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：[变式训练2]判断两圆C1：x2＋y2－2x＝0与C2：x2＋y2－4y＝0的位置关系．若相交，求其公共弦长．解∵C1(1,0)，C2(0,2)，r1＝1，r2＝2，∴|r1－r2|＝1，d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝3，则|r1－r2|dr1＋r2，故两圆相交．答案解法一：联立两圆的方程得方程组x2＋y2－2x＝0，x2＋y2－4y＝0，两式相减得x－2y＝0，即两圆的公共弦所在直线的方程．设两圆的交点为A，B，则A，B两点满足x－2y＝0，x2＋y2－2x＝0，解得x＝0，y＝0或x＝85，y＝45，故|AB|＝85－02＋45－02＝455.答案解法二：如下图，设两圆的公共弦OA与C1C2交于点M，则C1M⊥OA，|OA|＝2|AM|.答案由圆C1的方程，易得C1(1,0)，|AC1|＝1.两圆的方程相减，得直线OA的方程为x－2y＝0.从而|C1M|＝|1－2×0|12＋－22＝15.于是|OA|＝2|AM|＝2|AC1|2－|C1M|2＝212－152＝455.答案易错点⊳两圆位置关系考虑不全面[典例]求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．[错解]设所求圆的圆心为C(a，b)，则a－42＋b＋12＝1①，当两圆相切时，有a－22＋b＋12＝3②，由①②解得a＝5，b＝－1.∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.[错因分析]错解中误认为两圆相切就是两圆外切，而丢掉两圆内切时的情况．[正解]设所求圆的圆心为C(a，b)，则a－42＋b＋12＝1①，(1)当两圆外切时，有a－22＋b＋12＝3②，由①②解得a＝5，b＝－1.∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.(2)当两圆内切时，有a－22＋b＋12＝1③，由①③解得a＝3，b＝－1.∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.答案课堂小结1.判断圆与圆位置关系的方法通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：随堂巩固训练1．圆C1：x2＋y2＋2x－3＝0和圆C2：x2＋y2－4y＋3＝0的位置关系为()A．相离B．相交C．外切D．内含答案B解析圆C1的圆心坐标是C1(－1,0)，半径是r1＝2；圆C2的圆心坐标是C2(0,2)，半径是r2＝1，则|C1C2|＝5，r1－r2＝1，r1＋r2＝3，即r1－r2|C1C2|r1＋r2，故两圆相交．答案解析2．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案C解析两圆的标准方程分别为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，(x＋2)2＋(y－2)2＝9，则圆心距为2＋22＋－1－22＝5，从而5＝2＋3，故两圆外切，则公切线有3条．答案解析3．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为()A.5B.6C．25D．26答案C解析x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在直线的方程为2x＋y－15＝0，又圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离为35，因此，公共弦长为250－352＝25，选C.答案解析4．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝0答案A解析直线AB的方程为4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程y＝－(x－1)即两圆连心线.答案解析