2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 2 圆与圆的方程 2.3 直线与圆、圆与圆的位

预习课本P83～84，思考并完成以下问题(1)平面几何中学过的直线与圆的位置关系有几种？(2)如何判断直线与圆的位置关系？2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系一、预习教材·问题导入1．直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有_____公共点相切只有____公共点相离______公共点两个一个没有二、归纳总结·核心必记2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离判断方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d___rd___rd____r判断方法代数法：由Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ__0Δ___0Δ___0＜＝＞＞＝＜[点睛]判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过一点作圆的切线有一条．()(2)如果一条直线被圆截得的弦长最大，则该直线过圆心．()(3)直线ax＋y＝1与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系与a有关．()×√×三、基本技能·素养培优2．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与直线y＝x的位置关系是()A．相离B．相切C．相交且直线过圆心D．相交但直线不过圆心答案：C3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1B.2C.3D．24．若经过P(－1,0)的直线与圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0相切，则该直线在y轴上的截距是________．答案：D答案：1[典例]当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？[解][法一代数法]将直线mx－y－1＝0代入圆的方程并化简得(1＋m2)x2－2(m＋2)x＋1＝0.Δ＝4(4m＋3)．∴当Δ0，即m－34时，直线与圆相交；当Δ＝0，即m＝－34时，直线与圆相切；当Δ0，即m－34时，直线与圆相离．考点一直线与圆位置关系的判断[法二几何法]将圆的方程化为(x－2)2＋y2＝4.得圆心C(2,0)，半径r＝2，圆心C到直线mx－y－1＝0的距离d＝|2m－1|1＋m2.当d2，即2m－121＋m24，m－34时，直线与圆相交；当d＝2，即m＝－34时，直线与圆相切；当d2，即m－34时，直线与圆相离．直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[类题通法][针对训练]已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析：选A将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，∴点P(3,0)在圆内．∴过点P的直线l必与圆C相交．[典例]过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．[解]∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，∴点A在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，解得k＝－158.考点二圆的切线问题所以切线方程为y＋3＝－158(x－4)，即15x＋8y－36＝0.(2)若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4，综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.圆的切线的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.[类题通法](2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．[类题通法][针对训练]若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．解析：∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，∴圆的方程为x2＋y2＝5.∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－12.由点斜式可得切线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.答案：x＋2y－5＝0考点三弦长问题[典例]求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．[解]法一：由直线l与圆C的方程，得3x＋y－6＝0，x2＋y2－2y－4＝0，消去y得x2－3x＋2＝0.设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋[－3x1＋6－－3x2＋6]2＝1＋32x1－x22＝10[x1＋x22－4x1x2]＝10×32－4×2＝10.∴弦AB的长为10.法二：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.其圆心坐标为C(0,1)，半径r＝5，点C(0,1)到直线l的距离为d＝|3×0＋1－6|32＋12＝102，所以半弦长|AB|2＝r2－d2＝52－1022＝102.所以弦长|AB|＝10.[类题通法]求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|22＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．[针对训练]1．(求弦长问题)(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝|1＋1|2＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝24－2＝22.答案：222．(由弦长求参数问题)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．解析：圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心为C(－1,2)，半径为3.因为AC⊥BC，所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为322，即|－1－2＋a|2＝322，所以a＝0或6.答案：0或63．(由弦长求圆的方程)已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，求此圆的方程．解：∵圆心在直线x－3y＝0上，故可设其圆心为(3b，b)，b≠0，又∵圆C与y轴相切可知，r＝3|b|，弦心距d＝|b－3b|2＝2|b|，又∵l＝27，故l2＝7，∴(7)2＋(2|b|)2＝(3|b|)2，∴b＝±1，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.