2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 2 圆与圆的方程 2.3 直线与圆、圆与圆的位

预习课本P85～86，思考并完成以下问题(1)两圆在同一平面内有几种位置关系？分别是哪些位置关系？(2)如何判定两个圆的位置关系？第二课时圆与圆的位置关系一、预习教材·问题导入圆与圆的位置关系及判定已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，则圆心距d＝|C1C2|＝.则两圆C1，C2有以下位置关系：x1－x22＋y1－y22位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆相离_________两圆内含个_________0dr1＋r2d|r1－r2|二、归纳总结·核心必记位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆相交个__________________两圆内切___________两圆外切个___________2|r1－r2|dr1＋r21d＝|r1－r2|d＝r1＋r2[点睛]圆与圆位置关系判定的关注点(1)仅从圆与圆的交点个数判定是不科学的，如有1个交点，就不能判定是内切还是外切，应再结合图像判定．(2)判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法，代数法要注意相切时的判定．(3)一般情况下，我们尽量选择利用几何法进行判断，以减少运算量，提高解题的速度．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两圆只有一个公共点，则两圆外切．()(2)若两圆无公共点则两圆相离．()(3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含．()××√三、基本技能·素养培优2．若两圆的半径R，r分别是5和3，圆心距为d＝3，则两圆的位置关系是________．3．若圆x2＋y2＝4与圆M外切，圆心距为5，则圆M的半径r＝____.4．圆x2＋(y－1)2＝1与圆(x－1)2＋y2＝2的位置关系是________．答案：相交答案：3答案：相交[典例]当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离、内含？[解]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；考点一圆与圆位置关系的判断圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝50－k(k＜50)，从而|C1C2|＝－2－12＋3－72＝5.当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，即50－k＝6，即k＝14时，两圆内切．当|50－k－1|＜5＜1＋50－k，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5，即34＜k＜50时，两圆相离．当|50－k－1|＞5，即k＜14时，两圆内含．[类题通法]判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．[针对训练]两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．内含解析：选C法一：把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝2，则圆心距的长|C1C2|＝1－22＋0＋12＝2，r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，两圆相交．法二：联立方程x2＋y2－2x－3＝0，x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，解得x1＝1，y1＝－2，x2＝3，y2＝0，即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交.[典例]求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．[解]设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则a－12＋b2＝r＋1.①又所求圆过点M的切线为直线x＋3y＝0，故b＋3a－3＝3.②|a＋3b|2＝r.③解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6.故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.考点二圆与圆的相切问题处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问题．[类题通法][针对训练]1．[变条件]将本题变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－3)的圆的方程”．解：因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a,0)，设半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－3)，所以a－12＋02＝r＋1，3－a2＋－32＝r2，解得a＝4，r＝2，所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.2．[变条件，变设问]将本例变为“求半径为6，与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切的圆的方程”．解：设圆心坐标为(a，b)，由所求圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1相内切，可知所求圆的圆心必在x轴的上方，且b＝6，即圆心为(a,6)．由两圆内切，可得a2＋6－32＝6－1＝5.∴a＝±4.∴所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.[典例]已知圆C1：x2＋y2－4＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋4y－12＝0相交于A，B两点．(1)求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．(2)求圆C1与圆C2的公共弦的长度．[解](1)联立方程得x2＋y2－4＝0，①x2＋y2－4x＋4y－12＝0，②①－②得：x－y＋2＝0，所以公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.考点三两圆的公共弦问题(2)法一：因为两圆公共弦所在直线方程为lAB：x－y＋2＝0.圆心C1到直线AB的距离d＝2，设圆C1的半径为r1，所以公共弦长即|AB|＝2r21－d2＝24－2＝22.法二：解两圆方程组成的方程组得两圆交点坐标是A(－2,0)，B(0,2)，所以公共弦长即|AB|＝－2－02＋0－22＝22.1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.2．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．[类题通法][针对训练]求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．解：法一：解方程组x2＋y2＋6x－4＝0，x2＋y2＋6y－28＝0，得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.则有a＋12＋a－4－32＝a＋62＋a－4＋22，解得a＝12，故圆心为12，－72，半径为12＋12＋－72－32＝892.故圆的方程为x－122＋y＋722＝892.法二：∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圆心为－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.