2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 2 圆与圆的方程 2.2 圆的一般方程课件 北

预习课本P81～82，思考并完成以下问题(1)圆的方程除了标准方程的形式外，还有没有其他的表现形式？如果有，是什么形式？(2)二元二次方程是否一定表示圆？在什么条件下表示圆？2．2圆的一般方程一、预习教材·问题导入二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形(1)变形：把方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得__________________________________.(2)结论：①当D2＋E2－4F＞0时，表示以___________为圆心，以12_____________为半径的圆．x＋D22＋y＋E22＝D2＋E2－4F4－D2，－E2D2＋E2－4F二、归纳总结·核心必记②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有一组解x＝－D2，y＝－E2，表示一个点____________.③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，所以不表示任何图形．当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为_________________．－D2，－E2圆的一般方程[点睛]圆的一般方程与标准方程的区别及联系(1)圆的标准方程明确地表达了圆的圆心与半径，而一般方程则表现出了明显的代数结构形式，经过一定的代数运算才可以求出圆心与半径．(2)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程．将圆的一般方程配方后即得标准方程．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．()(2)圆x2＋y2＋ax－2ay＝0过原点．()(3)圆x2＋y2－Dx－Ey＋F＝0的圆心是－D2，－E2.()×√×三、基本技能·素养培优2．若方程x2＋y2＋x－y＋m＝0表示的曲线是一个圆，则m的取值范围是()A．m≤12B．m＝12C．m＞12D．m＜12答案：D3．圆x2＋y2＋2x－3y＝0的圆心坐标为()A．－1，32B．1，32C．(2,3)D．1，－324．圆x2＋y2－2x＋2y＝0的周长为________．答案：A答案：22π[典例]判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．[解]法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；考点一圆的一般方程的理解当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝12D2＋E2－4F＝5|m－2|.法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，表示圆的方程．此时，圆心(2m，－m)，半径r＝5|m－2|.解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即：①x2与y2的系数是否相等；(2)不含xy项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数．[类题通法][针对训练]若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．解：(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)0，即4m2＋4－4m2－20m0，解得m15，故m的取值范围为－∞，15.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝1－5m.[典例]已知点A(0,2)，B(4,0)，求过点A，B及原点O的圆的方程．[解]法一：设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为A，B，O在圆上，有2E＋F＋4＝0，4D＋F＋16＝0，F＝0，D＝－4，E＝－2，F＝0.所以所求圆的方程是x2＋y2－4x－2y＝0.考点二求圆的一般方程法二：设圆心为M，∵A，B，O构成直角三角形，其外接圆的圆心应在斜边的中点上．又A(0,2)，B(4,0)，∴M(2,1)·|AB|＝16＋4＝25，∴半径r＝5，圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，所以所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y＝0.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．[类题通法][针对训练]求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①又A(4,2)，B(－1,3)两点在圆上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0，③由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.考点三圆的方程的实际应用[典例]如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m)．[解]建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上．设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.因为P，B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都满足方程x2＋(y－b)2＝r2.于是，得到方程组02＋4－b2＝r2，102＋0－b2＝r2.解得b＝－10.5，r2＝14.52.所以，圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，即y＋10.5＝14.52－－22(P2的纵坐标y＞0，平方根取正值)．所以y＝14.52－－22－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)．故支柱A2P2的高度约为3.86m.在解决圆在实际生活中的应用问题时，借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果．应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助．[类题通法][针对训练]如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽多少米？解：以圆拱桥顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)，设圆拱所在的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为原点在圆上，所以F＝0.另外点A，点B在圆上，所以40＋6D－2E＝0，40－6D－2E＝0.∴D＝0，E＝20，∴圆的方程为x2＋y2＋20y＝0.当水面下降1m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x00)，如图所示，将A′的坐标(x0，－3)代入圆的方程，求得x0＝51，所以，水面下降1m后，水面宽为2x0＝251(m).