2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 2 圆与圆的方程 2.1 圆的标准方程课件 北

预习课本P80～81，思考并完成以下问题(1)圆的定义是怎样的？一个圆由哪些因素确定？(2)圆的标准方程是什么？若求一个圆的标准方程，需要确定什么？2．1圆的标准方程一、预习教材·问题导入1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到的距离等于的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以为圆心，r为半径的圆．定点(x－a)2＋(y－b)2＝r2(0,0)定长二、归纳总结·核心必记[点睛]圆的标准方程中参数a，b，r的作用圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，有三个参数a，b，r，其中(a，b)为圆心，r为半径．(1)圆心(a，b)在确定圆时起到定位作用，即影响圆的位置．(2)半径r在确定圆时起到定形作用，即影响圆的大小．2．中点坐标公式A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为x1＋x22，y1＋y22.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定一个圆的几何要素是圆心与半径．()(2)若点M(1,1)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的外部，则(1－a)2＋(1－b)2＞r2.()(3)A(a,0)，B(0，b)的中点坐标为a2，b2.()√√√三、基本技能·素养培优2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1B．(2，－3)，3C．(－2,3),2D．(2，－3),23．以点(2，－1)为圆心，以2为半径的圆的标准方程是()A．(x＋2)2＋(y－1)2＝2B．(x＋2)2＋(y－1)2＝2C．(x－2)2＋(y＋1)2＝2D．(x－2)2＋(y＋1)2＝2答案：D答案：C4．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆上B．在圆内C．在圆外D．不确定答案：C[典例]求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．[解][法一待定系数法]设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知1－a2＋－1－b2＝r2，－1－a2＋1－b2＝r2，a＋b－2＝0，解此方程组，得a＝1，b＝1，r2＝4.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.考点一求圆的标准方程[法二几何法]由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝1－－1－1－1＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由y＝x，x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，即圆心为(1,1)，圆的半径为1－12＋[1－－1]2＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.求圆的标准方程的两种方法(1)待定系数法：设出圆的标准方程，根据条件求出方程中的参数．(2)几何法：利用圆的几何性质求出圆的圆心坐标与半径，从而得到圆的标准方程．[类题通法][针对训练]过原点O和点P(1,3)的圆，圆心在直线y＝x＋2上，求此圆的标准方程．解：∵圆心在直线y＝x＋2上，∴设圆心坐标为(a，a＋2)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2.∵点O(0,0)和P(1,3)在圆上，∴0－a2＋0－a－22＝r2，1－a2＋3－a－22＝r2，解得a＝－14，r2＝258.∴圆的标准方程是x＋142＋y－742＝258.[典例]已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P，Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6，5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．[解]设所求圆的圆心为M，由已知条件及圆的性质可知，圆心M在直径PQ的中点处，∴圆心M的坐标为(0,1)．半径r＝12|PQ|＝12×－5－52＋6＋42＝52.考点二点与圆的位置关系∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，∵|AM|＝2－02＋2－12＝5＜r，∴点A在圆内，∵|BM|＝1－02＋8－12＝50＝r，∴点B在圆上．∵|CM|＝6－02＋5－12＝52＞r，∴点C在圆外．点和圆位置关系的判定步骤(1)求出圆的半径r和点到圆心的距离d；(2)比较r与d的大小；(3)由r与d的大小关系判断点和圆的位置关系．[类题通法][针对训练]已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．解：(1)因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又a＞0，可得a＝10.(2)由两点间距离公式可得|PN|＝3－52＋3－62＝13，|QN|＝5－52＋3－62＝3.因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3＜13，所以3＜a＜13.即a的取值范围是(3，13)．考点三与圆有关的最值问题[典例]如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－4)2＝4，求x2＋y2的最大值与最小值．[解]设d2＝x2＋y2，则x2＋y2的几何意义是圆上任意一点到原点距离的平方．如图所示，显然原点O和圆心C的连线与圆的交点到原点的距离的平方即为所求最值．又|OC|＝32＋42＝5，∴|OP1|＝|OC|－|P1C|＝5－2＝3，|OP2|＝|OC|＋|CP2|＝5＋2＝7.∴|OP1|2＝9，|OP2|2＝49.∴x2＋y2的最小值为9，最大值为49.(1)本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注意代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形象、直观．(2)几种常见代数式的几何意义：①x2＋y2：点(x，y)与原点的距离的平方．②(x－a)2＋(y－b)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方．③yx表示点(x，y)与原点(0,0)所在直线的斜率．④y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)所在直线的斜率．[类题通法][针对训练]已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．解：(1)由题意，结合图①可知圆心C(3,0)，r＝2，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(2)如图②所示，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，垂足为D.由点到直线的距离公式可得|CD|＝|3＋1|2＝22，又P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2.结合图形易知点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.