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1.2直线的方程第一课时直线方程的点斜式[学习目标]1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程．2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义．3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.课前自主学习【主干自填】1．直线方程的点斜式和斜截式2．垂直于坐标轴的直线直线过点直线的特点方程形式垂直于x轴x＝x0(x0，y0)垂直于y轴y＝y03．截距的概念(1)在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的(2)在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的□03纵坐标．□04横坐标．【即时小测】1．思考下列问题(1)若直线经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则该直线上任意一点的坐标满足什么关系？提示：设P(x，y)是直线上除P0外任意一点，那么y－y0x－x0＝k，∴y－y0＝k(x－x0)，点P0也满足该式，这就是直线的方程．提示(2)过点(2,1)且垂直于x轴或y轴的直线方程是怎样的？提示：x＝2，y＝1.提示(3)经过y轴上一点(0，b)且斜率为k的直线方程是什么？提示：设直线上除(0，b)外任一点坐标为(x，y)，则y－bx＝k，即y＝kx＋b.点(0，b)也满足该式，∴直线方程为y＝kx＋b.提示2．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2)D．y＝3(x＋2)提示：D由点斜式得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．提示3．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1提示：C∵直线方程y＋2＝－x－1，可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.提示4．直线方程y＝kx＋b(k＋b＝0，k≠0)表示的图形可能是()提示：B解法一：因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即k＝－b，所以令y＝0，得x＝－bk＝1，所以直线与x轴的交点为(1,0)．只有选项B中图形符合要求．提示解法二：已知k＋b＝0，所以k＝－b，代入直线方程，可得y＝－bx＋b，即y＝－b(x－1)．又k≠0，所以b≠0，所以直线必过点(1,0)．只有选项B中图形符合要求．提示解法三：由直线方程为y＝kx＋b，可得直线的斜率为k，在y轴上的截距为b.因为k＋b＝0，所以k＝－b，即直线的斜率与直线在y轴上的截距互为相反数．选项A中，k0，b0，则k＋b0，不符合要求；选项B中，k0，b0，图形可能符合要求；选项C中，k0，b＝0，则k＋b0，不符合要求；选项D中，k0，b0，则k＋b0，不符合要求.提示课堂互动探究例1根据条件写出下列直线方程的点斜式．(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；(2)经过点B(4,2)，倾斜角为90°；(3)经过原点，倾斜角为60°；(4)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°.[解](1)直线斜率为tan45°＝1，∴直线方程为y－4＝x＋1.(2)直线斜率不存在，直线平行于y轴，∴所求直线方程为x＝4.(3)直线斜率为tan60°＝3，∴所求直线的方程为y＝3x.(4)直线斜率为0，∴直线方程为y＝1.答案类题通法点斜式方程使用的条件是直线的斜率必须存在，因此解答本题要先判断直线的斜率是否存在.若存在，求出斜率，利用点斜式写出方程；若不存在，直接写出方程x＝x0.[变式训练1]根据下列条件写出直线方程的点斜式．(1)经过点(3,1)，倾斜角为60°；(2)斜率为32，与x轴交点的横坐标为－7.解(1)设直线的倾斜角为α，∵α＝60°，k＝tanα＝tan60°＝3，∴所求直线的点斜式方程为y－1＝3(x－3)．答案(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7得直线过点(－7,0)，又斜率为32，由直线方程的点斜式得y－0＝32[x－(－7)]，即y＝32(x＋7).答案例2(1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k，在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．[解](1)∵直线的斜率为2，在y轴上截距是3，∴直线方程的斜截式为y＝2x＋3.(2)把直线l的方程2x＋y－1＝0化为斜截式为y＝－2x＋1，∴k＝－2，b＝1，点P的坐标为(0,1)．答案类题通法斜截式方程书写注意的问题(1)已知直线斜率或直线与y轴交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．(2)利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距．[变式训练2]写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.解(1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y＝3x－3.(2)由题意可知，直线的斜率k＝tan60°＝3，所求直线的方程为y＝3x＋5.(3)由题意可知所求直线的斜率k＝tan30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.答案例3求证：不论m为何值时，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．[证明]证法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直线l过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l总过第二象限．答案证法二：直线l的方程可化为(x＋2)m－(x＋y－1)＝0.令x＋2＝0，x＋y－1＝0，解得x＝－2，y＝3.∴无论m取何值，直线l总经过点(－2,3)．∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．答案类题通法直线的斜截式方程的书写方法直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．[变式训练3]已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，求k的取值范围．解由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则－6≤0，3－2k≤0，得k≥32.所以，k的取值范围是﹛k|k≥32﹜.答案易错点⊳忽略方程的适用条件致错[典例]已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求直线AB的方程．[错解]由A(－1,2)，B(m,3)，得直线AB的斜率k＝1m＋1，利用点斜式，得直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)．[错因分析]没有讨论直线AB的斜率是否存在(m的取值)，而直接认为直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)．[正解]当m＝－1时，由A(－1,2)，B(－1,3)，得直线AB的方程为x＝－1；当m≠－1时，由A(－1,2)，B(m,3)，得直线AB的斜率k＝1m＋1，利用点斜式，得直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)．答案课堂小结1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y－y1x－x1＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.随堂巩固训练1．直线y－2＝－3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A．60°，2B．120°，2－3C．60°，2－3D．120°，2答案B解析该直线的斜率为－3，当x＝0时，y＝2－3，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－3.答案解析2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k0，b0B．k0，b0C．k0，b0D．k0，b0答案B解析∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，则由图知，k0，b0.答案解析3．斜率为4，经过(2，－3)的直线方程为________．答案y＋3＝4(x－2)答案4．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________．答案x＝3解析直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3.答案解析