2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 1 直线与直线的方程 1.5 平面直角坐标系中

预习课本P76～78，思考并完成以下问题(1)点到直线的距离公式是什么？(2)两平行线间的距离公式是什么？第二课时点到直线的距离公式一、预习教材·问题导入1．点到直线的距离点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离记为d，则d＝_____________.2．两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，两条直线间的距离记为d，即d＝_________.|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C2－C1|A2＋B2二、归纳总结·核心必记[点睛]应用点到直线的距离公式的注意事项(1)在应用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．(2)对于特殊直线还可采用数形结合的思想方法求解．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离是|C1－C2|.()(2)原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式是|C|A2＋B2.()(3)平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．()×√√三、基本技能·素养培优2．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A．32B.22C．3D.3223．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于()A．7B．5C．3D．24．直线l1：x＋y＝0与直线l2：2x＋2y＋1＝0间的距离是________．答案：D答案：A答案：24考点一点到直线的距离公式的应用[典例](1)在平面直角坐标系xOy中，点P(2,2)到直线4x＋3y＋5＝0的距离为________．(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1,0)的距离是3510的直线l的方程．[解析](1)由点到直线的距离公式可得d＝|4×2＋3×2＋5|42＋32＝195.答案：195(2)解：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：d＝|3×－1－0＋m|32＋－12＝|m－3|10＝3510.所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，即可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．[类题通法][针对训练]已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝()A.2B．2－2C.2－1D．2＋1解析：选C由点到直线的距离公式知d＝|a－2＋3|2＝|a＋1|2＝1，得a＝－1±2.又∵a＞0，∴a＝2－1.[典例](1)与直线7x＋24y＝5平行，并且距离等于3的直线方程是________________．(2)正方形ABCD的中心在原点，若AB边所在直线方程为3x＋4y－5＝0，求边CD所在直线的方程．[解析](1)设所求直线为7x＋24y＋m＝0.把直线7x＋24y＝5整理为一般式得7x＋24y－5＝0.由两平行直线间的距离公式得：|m＋5|72＋242＝3，解得m＝70或－80，故所求直线方程为7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0.答案：7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0考点二两条平行线间的距离公式(2)解：根据正方形的性质，设CD所在的直线方程为3x＋4y＋λ＝0，则由正方形中心到四边距离相等，故|－5－λ|32＋42＝2·|－5|32＋42，即|λ＋5|＝10，解得λ＝5或λ＝－15(不合题意，舍去)．所以CD所在直线方程为3x＋4y＋5＝0.求两平行直线间的距离的两种思路(1)直接利用两平行线间的距离公式，但必须注意两直线方程中的x，y的系数对应相等．(2)将两平行线间的距离转化或化归为求一条直线上任意一点到另条直线的距离来求解．[类题通法][针对训练]1．已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是()A．(0，＋∞)B．[0,5]C．(0,5]D．[0，17]解析：选C当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝[2－－1]2＋－1－32＝5，∴0＜d≤5.2．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则l的方程为________．解析：设所求的直线方程为2x－y＋c＝0，分别在l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0上取点A(0,3)和B(0，－1)，则此两点到2x－y＋c＝0的距离相等，即|－3＋c|22＋－12＝|1＋c|22＋－12，解得c＝1，直线l的方程为2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0考点三对称问题[典例]如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l∶8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．[解]设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得ba·－43＝－1，8·a2＋6·b2＝25，解得a＝4，b＝3，∴A的坐标为(4,3)∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等．故反射光线所在直线方程为y＝3.由方程组y＝3，8x＋6y＝25，解得x＝78，y＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3x≤78.由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)，可由方程组y－y0x－x0·－AB＝－1AB≠0，A·x＋x02＋B·y＋y02＋C＝0求得．[类题通法](2)常用对称的特例有：①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；⑤P(a，b)关于原点的对称点为P′(－a，－b)．[类题通法][针对训练]求点A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点坐标．解：设B(a，b)是A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点，则有AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线上．∴12×b－2a－2＝－1，2×a＋22－4×b＋22＋9＝0.解得a＝1，b＝4.∴所求对称点坐标为(1,4)．