2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 1 直线与直线的方程 1.3 两条直线的位置关

预习课本P70～72，思考并完成以下问题(1)两条直线平行时，它们的斜率之间有什么关系？(2)两条直线垂直时，它们的斜率之间有什么关系？1．3两条直线的位置关系一、预习教材·问题导入1．当直线是斜截式方程时，两条不重合直线l1与l2的倾斜角分别为α1，α2，当斜率存在时，设直线方程为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，则平行垂直位置关系斜率存在斜率不存在斜率存在一条斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝a2＝90°|α2－α1|＝90°α1＝0°，α2＝90°二、归纳总结·核心必记平行垂直位置关系斜率存在斜率不存在斜率存在一条斜率不存在对应关系l1∥l2⇔_______l1∥l2⇔两直线斜率都不存在l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1斜率为，l2斜率不存在图示k1＝k202．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条不重合直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等．()(2)斜率相等的两条直线一定平行．()(3)若两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1.()×××三、基本技能·素养培优2．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是()A．x＋y－1＝0B．x－y＋1＝0C．ax－ay－a＝0D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝03．直线y＝kx与直线y＝2x＋1垂直，则k＝________.4．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝_____.答案：B答案：－12答案：－23考点一两条直线平行、垂直的判定[典例]判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.[解](1)l1：y＝－35x＋65，l2：y＝－35x－310.则k1＝－35，b1＝65，k2＝－35，b2＝－310.∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.(2)l1：y＝12x＋73，l2：y＝－2x＋2.则k1＝12，k2＝－2，∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)∵直线l1，l2的斜率均不存在，且2≠4，∴l1∥l2.(4)∵直线l1的斜率k1＝0，直线l2斜率不存在，∴l1⊥l2.已知直线方程判断两条直线平行或垂直的方法[类题通法][针对训练]判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．(1)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(2)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．解：(1)k1＝1，k2＝2－12－1＝1，k1＝k2，∴l1∥l2或l1与l2重合．(2)k1＝0－11－0＝－1，k2＝0－32－－1＝－1，k1＝k2，数形结合知，l1∥l2.(3)k1＝－10，k2＝3－220－10＝110，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝40－4010－－10＝0，则l2∥x轴．∴l1⊥l2.考点二利用两直线平行、垂直求直线方程[典例]已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．[解]法一：∵直线l的方程为3x＋4y－20＝0，∴kl＝－34.(1)设过点A与直线l平行的直线为l1，∵kl＝kl1，∴kl1＝－34.∴l1的方程为y－2＝－34(x－2)，即3x＋4y－14＝0.(2)设过点A与直线l垂直的直线为l2，∵kl·kl2＝－1，∴－34·kl2＝－1，∴kl2＝43.∴l2的方程为y－2＝43(x－2)，即4x－3y－2＝0.法二：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0，∵点(2,2)在直线上，∴3×2＋4×2＋C＝0，∴C＝－14.∴所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0，∵点(2,2)在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0，∴λ＝－2，即所求直线方程为4x－3y－2＝0.直线方程的常用设法(1)过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)；(2)知斜率k，设斜截式y＝kx＋b；(3)与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0；(4)与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0.[类题通法][针对训练]若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56，求直线l的方程．解：设直线的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，令x＝0，则在y轴上的截距为b＝－λ3；令y＝0，则在x轴上的截距为a＝－λ2，由a＋b＝－λ2－λ3＝56，得λ＝－1，所以所求直线l的方程为2x＋3y－1＝0.考点三利用两直线平行、垂直求参数[典例]若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求：a取何值时，l1∥l2，l1⊥l2.[解]将直线l1化成斜截式方程为y＝－a4x＋12，当a＝0时，l2的方程为x＝－1，l1的方程为y＝12，此时l1⊥l2；当a≠0时，l2的斜截式方程为y＝－1ax－1a.若－a4＝－1a，12≠－1a，即a＝2时，l1∥l2；若－a4·－1a＝－1，即14＝－1，矛盾，故l1与l2在a≠0时不垂直．综上，当a＝2时，l1∥l2；当a＝0时，l1⊥l2.在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不能直观判断两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论，若用一般式的系数解题则无需讨论．[类题通法][针对训练]已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)．(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值．解：kl1＝a－13－1＝a－12，(1)若l1∥l2，则3＋a≠2，且kl2＝4－2a＋3－2＝2a＋1＝a－12，即a≠－1且a2＝5，∴a＝±5.(2)当a＋3＝2，即a＝－1时，l2无斜率，此时kl1＝－1，所以l1与l2不垂直，当a＋3≠2，即a≠－1时，kl2＝2a＋1，由l1⊥l2得，kl1·kl2＝a－12×2a＋1＝－1.解得a＝0.