2019-2020学年高中数学 第二章 解三角形 1.2 余弦定理课件 北师大版必修5

第二章解三角形1．2余弦定理余弦定理公式表达语言叙述推论a2＝b2＝c2＝三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍cosA＝cosB＝cosC＝b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab判断题.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若a2b2＋c2，则△ABC为钝角三角形．()(2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°.()(3)在△ABC中，若a2＋b2c2，则△ABC为锐角三角形．()解析：对于(1)，由cosA＝b2＋c2－a22bc0知A为钝角，正确．(2)错，因为cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，所以A＝120°.(3)错，类似于(1)知C为锐角，但A，B并不知道是什么角．√××在△ABC中，已知b＝2，c＝3，A＝60°，则a＝()A.3B．2C.7D．7解析：选C.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋32－6＝7，所以a＝7.在△ABC中，已知a＝1，b＝3，c＝2，则B等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.由于a2＋b2＝c2，知C＝90°.从而sinB＝bc＝32，则B＝60°.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋2ac，则角B的大小是________．解析：由已知得a2＋c2－b2＝2ac，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22.又0°B180°，所以B＝45°.答案：45°1．对余弦定理及其推论的两点说明(1)余弦定理适用于任意三角形，反映了三角形中三条边与一个内角的余弦之间严格确定的量化关系．(2)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA还可改写为sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，有时应用它求三角函数值会很方便．2．余弦定理解三角形的两点说明(1)余弦定理的每个等式中含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，可“知三求一”．(2)当已知两边和其中一边的对角时，一般采用正弦定理，但根据需要也可用余弦定理，解三角形时，要注意方程思想的应用，可能有两解，一定不要忽视根据三边长度关系进行取舍，如在△ABC中，若a＝23，b＝6，A＝45°，求边c时利用余弦定理求出c＝3±3需要取舍．已知两边及一角解三角形(1)已知△ABC中，cosA＝35，a＝4，b＝3，则c＝________．(2)在△ABC中，已知a＝33，c＝2，B＝150°，则边b的长为________．【解析】(1)A为b，c的夹角，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得16＝9＋c2－6×35c，整理得5c2－18c－35＝0.解得c＝5或c＝－75(舍去)．(2)在△ABC中，由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB＝(33)2＋22－2×33×2×－32＝49.所以b＝7.【答案】(1)5(2)7(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．[注意]解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便.1.(1)在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．(2)在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.解：(1)由题意，得a＋b＝5，ab＝2.所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝19.故填19.(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)，所以49＝64－2bc1－12，即bc＝15，由b＋c＝8，bc＝15，解得b＝3，c＝5或b＝5，c＝3.已知三边(三边关系)解三角形(1)在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C.(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝3a，求cosA.【解】(1)由于a∶b∶c＝1∶3∶2，可设a＝x，b＝3x，c＝2x.由余弦定理的推论，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝3x2＋4x2－x22×3x×2x＝32，故A＝30°.同理可求得cosB＝12，cosC＝0，所以B＝60°，C＝90°.(2)由B＝C，2b＝3a，可得c＝b＝32a.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝34a2＋34a2－a22×32a×32a＝13.已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．2.(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝()A．90°B．60°C．120°D．150°(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．解：(1)选C.由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)可得a2－c2＝b2＋bc，即a2＝c2＋b2＋bc.根据余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，因为A为△ABC的内角，所以A＝120°.(2)由余弦定理的推论得：cosA＝AB2＋AC2－BC22·AB·AC＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝AC22＋AB2－2·AC2·ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x＝7.所以，所求中线长为7.利用余弦定理判断三角形的形状在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状．【解】结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为a－c·a2＋c2－b22ac·b＝b－c·b2＋c2－a22bc·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，所以a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，故三角形为等腰三角形或直角三角形．余弦定理判断三角形形状的方法判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状．3.(1)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c2－a2－b22ab0，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形(2)在△ABC中，若cosA＝sinBsinC，则△ABC为________三角形．解析：(1)由c2－a2－b22ab0得－cosC0，所以cosC0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．(2)由cosA＝sinBsinC得cosA＝bc，即b2＋c2－a22bc＝bc，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，因此△ABC是以C为直角的直角三角形．答案：(1)C(2)直角易错警示忽略题中的隐含条件导致错误在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.【解】由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－43，所以c＝6－2.又由正弦定理，得sinA＝asinCc＝12.因为ba，则BA.又0°A180°，所以A＝30°.本题易错为A＝30°或150°，错因是忽略了ba，从而有BA这一隐含条件．在解三角形时，有时候会产生多解，这时要根据已知三角形中的条件，进行取舍．1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为()A.π6B．π3C.π6或5π6D．π3或2π3解析：选A.因为cosB＝a2＋c2－b22ac＝3ac2ac＝32，所以B＝π6.2．在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：选C.设在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，由正弦定理得a2＋b2c2，从而cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，已知a＝3，b＝3，C＝30°，则A＝________．解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2bacosC＝3＋9－2×3×3×cos30°＝3，所以c＝3，即a＝c＝3，所以A＝C＝30°.答案：30°4．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．解：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.因为x1＝35，x2＝－2(舍去)．所以cosC＝35.根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×35＝16.所以c＝4，即第三边长为4.