2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 1 直线与直线的方程 1.2 直线的方程 第二

预习课本P67～69，思考并完成以下问题(1)如何由直线上的两点确定直线的方程？(2)直线的两点式方程的适用范围是什么？直线的截距式方程与两点式方程的关系是什么？(3)直线的一般式方程是什么？第二课时直线方程的两点式和一般式一、预习教材·问题导入1．直线方程的两点式和截距式名称两点式截距式已知条件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，在x，y轴上的截距分别为a，b示意图方程_______________________适用范围y1≠y2且x1≠x2ab≠0y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1二、归纳总结·核心必记[点睛]在求直线方程时，应适当选用方程的形式，并注意各种形式的适用条件，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和经过原点的直线．2．直线的一般式方程把关于x，y的二元一次方程叫做直线的一般式方程，简称一般式．其中系数A，B满足.Ax＋By＋C＝0A，B不同时为01．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．()(2)截距式可表示除过原点外的所有直线．()(3)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．()(4)平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示．()√××√三、基本技能·素养培优2．直线xa＋yb＝1(ab＜0)的图像可能是()答案：C3．过两点(2015,2016)，(2015,2017)的直线方程是()A．x＝2015B．x＝2016C．y＝2015D．x＋y＝20174．直线x－y＋5＝0的倾斜角为()A．45°B．60°C．120°D．135°答案：A答案：A考点一直线方程的两点式和截距式[典例](1)求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(－2,3)，B(4，－1)；(2)在x轴，y轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．[解](1)由两点式得y－3－1－3＝x＋24＋2，化简得2x＋3y－5＝0.(2)由截距式，得x4＋y－5＝1，化简得5x－4y－20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x－2y＝0.当直线不过原点时，设直线方程为xa＋ya＝1，∵直线过P(2,3)，∴2＋3a＝1，∴a＝5，直线方程为x＋y－5＝0，所以所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错位．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[类题通法][针对训练]若直线l过点P(4，－3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l的方程．解：法一：设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b.(1)当a≠0，b≠0时，设l的方程为xa＋yb＝1.∵点P(4，－3)在直线上，∴4a＋－3b＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.(2)当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝4k＋3k.又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等．∴|－4k－3|＝4k＋3k，解得k＝1或k＝－1或k＝－34.∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.考点二直线方程的一般式[典例]设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值；(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.[解](1)由题意可得m2－2m－3≠0，①2m－6m2－2m－3＝－3.②由①得：m≠－1且m≠3，由②得：m＝3或m＝－53.∴m＝－53.(2)由题意得2m2＋m－1≠0，③－m2－2m－32m2＋m－1＝－1.④由③得：m≠－1且m≠12，由④得：m＝－1或m＝－2.∴m＝－2.直线方程的几种形式的转化[类题通法][针对训练]根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(1)斜率是－12，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是32，－3；(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．解：(1)由点斜式得y－(－2)＝－12(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.(3)由截距式得x32＋y－3＝1，即2x－y－3＝0.(4)由两点式得y－－2－4－－2＝x－35－3，即x＋y－1＝0.考点三直线方程的综合应用[典例]已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．[解](1)证明：将直线l的方程整理为y－35＝ax－15，∴直线l的斜率为a，且过定点A15，35，而点A15，35在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．(2)直线OA的斜率为k＝35－015－0＝3.如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3.故a的取值范围为[3，＋∞)．含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．这无穷多条直线是过同一个点的．这里对一般式灵活变形后变成点斜式是解决问题的关键．[类题通法][针对训练]设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)求证：不论a取何值，直线l必过定点，并求出这个定点；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解：(1)证明：直线l的方程可变形为(a＋1)x＋y＋3－(a＋1)＝0.即y＋3＝－(a＋1)(x－1)．故不论a取何值，直线l恒过定点(1，－3)．(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴－a＋1＞0，a－2≤0，或－a＋1＝0，a－2≤0.∴a≤－1.故a的取值范围是(－∞，－1]．