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第二章解三角形§3解三角形的实际应用举例1．常见的几种角(1)坡角：坡向与水平向的，如图①.夹角(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫，在水平线的角叫俯角，如图②.仰角下方(3)方位角：指从顺时针转到目标方向线所成的角，如图③，B点的方位角为α.(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如图④中，∠ABC为北偏东60°.正北方向2．利用正、余弦定理解决实际测量问题时，应具备的测量数据求距离两点间不可直达也不可视两点间可视但不可达两点都不可达求高度底部可达底部不可达判断题.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个不可到达的点之间的距离无法求得．()(2)方位角是从正北方向逆时针旋转到目标方向线的水平角．()(3)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低．()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是0，π2.()××××若P在Q的北偏东44°，则Q在P的()A．东偏北46°B．东偏北44°C．南偏西44°D．西偏南44°解析：选C.如图，因为P在Q的北偏东44°，则Q在P的南偏西44°.A，B两点间有一小山，选定能直接到达点A，B的点C，测得AC＝60m，BC＝160m，∠ACB＝60°，则A，B两点间的距离为________m.解析：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos60°＝602＋1602－2×60×160cos60°＝19600，所以AB＝140m，即A、B两点间的距离为140m.答案：140一树的树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5m，则树干原来的高度为__________．答案：(10＋53)m1．解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．2．解三角形应用题的一般步骤(1)分析：读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．(2)建模：根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．(3)求解：选择正弦定理或余弦定理求解．(4)还原：将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求等．测量高度问题如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006(m)．答案：1006测量高度问题的解题思路高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．1.(1)在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为()A.2003mB．20033mC.4003mD．40033m(2)如图，A、B是水平面上两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角是25°，∠BAD＝110°，又在点B测得∠ABD＝40°，其中D点是点C在水平面上的垂足．求山高CD(精确到1m)．解：(1)选C.如图，在△ABC中，BC＝ABtan∠BAC＝200×tan30°＝20033(m)，AE＝BC，则DE＝AEtan30°＝20033×33＝2003(m)，所以塔高CD＝200－2003＝4003(m)．(2)在△ABD中，∠ADB＝180°－110°－40°＝30°，由正弦定理得AD＝ABsinBsin∠ADB＝800×sin40°sin30°≈1028.5(m)，在Rt△ACD中，CD＝ADtan25°≈480(m)．故山高约为480m.测量距离问题海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是________．【解析】如图，在△ABC中，C＝180°－(B＋A)＝45°，由正弦定理，可得BCsin60°＝ABsin45°，所以BC＝32×10＝56(海里)．【答案】56海里在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B，C间的距离呢？解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos60°＝102＋202－2×10×20×12＝300.故BC＝103.即B，C间的距离为103海里．测量距离问题的解题思路测量距离问题一般分为三种类型：①两点间不可达又不可视；②两点间可视但不可达；③两点都不可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．2.(1)为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.(2)如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A、B两点间的距离是多少？解：(1)根据正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠ABC，所以AB＝ACsin∠ACBsin∠ABC＝8sin45°sin（180°－30°－45°）＝426＋24＝8(3－1)(m)，即A，B间的距离为8(3－1)m.故填8(3－1)．(2)由正弦定理得AC＝20sin（45°＋60°）sin[180°－（30°＋45°＋60°）]＝20sin105°sin45°＝20sin75°sin45°＝10(1＋3)(米)，BC＝20sin45°sin[180°－（60°＋30°＋45°）]＝20sin45°sin45°＝20(米)．在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC2＋BC2－2AC×BCcos∠BCA＝106(米)．所以A、B两点间的距离为106米．测量角度问题岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．(1)问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．【解】(1)根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，在△ABC中，由ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，得AB＝BCsin∠ACBsin∠BAC＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.所以海监船接到通知时，距离岛A56海里．(2)设海监船航行时间为t小时，则BD＝103t，CD＝10t，又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t·－12，所以2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)．所以CD＝10，所以BC＝CD，所以∠CBD＝12(180°－120°)＝30°，所以∠ABD＝75°＋30°＝105°.所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．(海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时)测量角度问题的基本思路(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．3.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时anmile的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3anmile，问：甲船应沿什么方向前进才能最快与乙船相遇？解：如图，设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at，AC＝3at，∠B＝180°－60°＝120°.由正弦定理得BCsin∠CAB＝ACsinB，则sin∠CAB＝BCsinBAC＝atsin120°3at＝323＝12.因为0°∠CAB90°，所以∠CAB＝30°，所以∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进才能最快与乙船相遇．思想方法转化与化归思想在解三角形实际问题中的应用如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【解】如图，连接A1B2，由已知A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，所以A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，所以△A1A2B2是等边三角形，所以A1B2＝A1A2＝102.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，所以B1B2＝102.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．故乙船每小时航行302海里．航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中，然后转化为解三角形的问题进行求解．1．某人先向正东方向走了xkm，然后他向右转150°，向新的方向走了3km，结果他离出发点恰好为3km，那么x的值为()A.3B．23C．23或3D．3解析：选C.根据余弦定理可得，(3)2＝x2＋32－2×3xcos(180°－150°)，即x2－33x＋6＝0，所以x＝23或3.2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB．3akmC.2akmD．2akm解析：选B.在△ABC中，AC＝BC＝akm，∠ACB＝180°－(20°＋40°)＝120°，所以AB＝AC2＋BC2－2·AC·BCcos120°＝a2＋a2－2a2·（－12）＝3a(km)．3．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距82海里．此船的航速是__________海里/小时．解析：在△ABS中，易知∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，且边BS＝82，利用正弦定理可得ABsin45°＝BSsin30°，即AB22＝8212，得AB＝16，又因为从A到B匀速航行时