2019-2020学年高中数学 第二章 解三角形 2 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5

第二章解三角形§2三角形中的几何计算1．正弦定理的变形(R为外接圆半径)(1)a＝，b＝，c＝．(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝．(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2R2．余弦定理的变形b2＋c2－a2＝；a2＋c2－b2＝；a2＋b2－c2＝．3．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．2bccosA2accosB2abcosC4．三角形的面积公式(1)如图所示，在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，ha，hb，hc分别为a，b，c边上的高，R，r分别为△ABC的外接圆、内切圆的半径，p＝12(a＋b＋c)，则△ABC的面积有如下公式．①S△ABC＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc.②S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB．③S△ABC＝rp.④S△ABC＝p（p－a）（p－b）（p－c）.(2)对于多边形的有关几何计算问题，可以利用“割补法”，转化为三角形，通过三角形的有关性质及正、余弦定理解决．判断题.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．()(2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．()(3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．()√××在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于()A．12B．212C．28D．63解析：选D.由余弦定理可得cosA＝12，A＝60°，所以S△ABC＝12bcsinA＝63.已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则()A．A＝30°B．A＝60°C．A＝30°或150°D．A＝60°或120°解析：选D.由S△ABC＝12bcsinA＝32，得3sinA＝32，sinA＝32，由0°A180°，知A＝60°或A＝120°.在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为________．解析：因为a2＝b2＋c2－2bccosA，又已知a2＋4S＝b2＋c2，故S＝12bccosA＝12bcsinA，从而sinA＝cosA，tanA＝1，A＝45°.答案：45°1．三角形面积公式的理解三角形的面积公式S＝12absinC与原来的面积公式S＝12a·h(h为a边上的高)的关系为：h＝bsinC，实质上bsinC就是△ABC中a边上的高．2．常见问题的处理方法与技巧(1)求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．(2)在求三角形面积时，若存在三角形边长平方和的情况，一般联想到用余弦定理解决；若存在边长乘积时，一般联想到用公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB解决．(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和．计算长度和角度如图，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B＝45°，b＝10，cos∠ACB＝255.(1)求边长a；(2)设AB中点为D，求中线CD的长．【解】(1)由cos∠ACB＝255，∠ACB∈(0°，90°)，得sin∠ACB＝1－cos2∠ACB＝1－2552＝55，sinA＝sin(B＋∠ACB)＝sinBcos∠ACB＋cosBsin∠ACB＝22×255＋22×55＝31010，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝10×3101022＝32.(2)由余弦定理得c2＝(32)2＋(10)2－2×32×10×255＝4，所以c＝2，又因为D为AB的中点，所以BD＝1.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BC×cosB＝12＋(32)2－2×1×32×22＝13，所以CD＝13.三角形中几何计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．1.(1)一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为()A.36B．336C．±66D．±336(2)如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．解：(1)选B.如图所示．设梯形ABCD中，AD∥BC.由题意可知C＝60°.过D作AB的平行线DB′与BC交于B′.在△B′CD中，B′D＝AB＝6，CD＝2，C＝60°，∠DB′C＝B，于是sin∠DB′C＝CDB′D·sinC＝36.所以cos∠DB′C＝1－sin2∠CB′D＝336.故选B.(2)在△ABD中，设BD＝x，由余弦定理得AB2＝BD2＋AD2－2AD·BD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－20xcos60°，所以x2－10x－96＝0，所以x＝16(x＝－6舍去)，即BD＝16.在△BCD中，由正弦定理，得BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，所以BC＝16sin30°sin135°＝82.三角形中与面积有关的问题△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.【解】(1)由已知可得tanA＝－3，所以A＝2π3.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos2π3，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.三角形面积公式的应用(1)三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角已知或可求，或三角形中哪个角的正弦值可求．(2)在解决三角形问题时，面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA最常用，因为公式中既有角又有边，容易和正弦定理、余弦定理联系起来应用．2.在△ABC中，A，B，C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知b2＋c2－a2＝bc.若a＝13，且△ABC的面积为33，求b＋c的值．解：cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又A为三角形内角，所以A＝π3.由面积公式得：12bcsinπ3＝33，即bc＝12.因为a＝13，由余弦定理得：b2＋c2－2bccosπ3＝13，即b2＋c2－bc＝13，则b2＋c2＝25，所以(b＋c)2＝49，故b＋c＝7.三角形中的综合问题在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)．(1)求角B的大小；(2)若b＝4，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．【解】(1)因为bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)，所以bcosA＝(2c＋a)(－cosB)．由正弦定理可得，sinBcosA＝(－2sinC－sinA)cosB，即sin(A＋B)＝－2sinCcosB＝sinC.又角C为△ABC的内角，所以sinC0，所以cosB＝－12.又B∈(0，π)，所以B＝2π3.(2)由S△ABC＝12acsinB＝3，得ac＝4.又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16.所以a＋c＝25，所以△ABC的周长为4＋25.解三角形综合问题的策略(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变形等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．(2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变形等知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．3.在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cosA，sinA)，n＝(2－sinA，cosA)，且|m＋n|＝2.(1)求角A的大小；(2)若b＝42，c＝2a，求△ABC的面积．解：(1)因为m＋n＝(2＋cosA－sinA，cosA＋sinA)，所以|m＋n|＝（2＋cosA－sinA）2＋（cosA＋sinA）2＝4－4sinA－π4.因为|m＋n|＝2，所以sinA－π4＝0，又0Aπ，所以－π4A－π43π4，所以A－π4＝0，即A＝π4.(2)因为c＝2a，A＝π4，所以ca＝sinCsinA＝2，所以sinC＝1，又0Cπ，所以C＝π2.所以△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝12×(42)2＝16.规范解答三角形中的综合问题(本题满分12分)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB的值；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．【解】(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.(2分)又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.(3分)由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝14.(6分)(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，(8分)故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝2.(10分)所以△ABC的面积为12×2×2＝1.(12分)(1)推出a，b，c间的关系，再利用余弦定理，是本题关键．忽略B＝90°导致无法求解．(2)对正弦定理、余弦定理及三角公式要熟练掌握其形式及特点，并结合条件确定边、角之间的关系．如余弦定理的推论cosB＝a2＋c2－b22ac.(3)使用简洁、准确的数学语言描述解答过程，是解答得分的根本保证．1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且S△ABC＝32，则BC边的长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A.由S△ABC＝12·AB·AC·sinA得，12×2ACsin60°＝32，所以AC＝1，所以BC＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.故选A.2．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.43B．8－43C．1D．23解析：选A.由(a＋b)2－c2＝4，得(a2＋b2－c2)＋2ab＝4.①因为a2＋b2－c2＝2abcosC，故方程①化为2ab(1＋cosC)＝4.所以ab＝21＋cosC.又因为C＝60°，所以ab＝43.3．△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝60°，如果△ABC有两组解，则x的取值范围是________．解析：△ABC有两组解则：asinBba，即xsin60°2x，解得2x433.答案：2，4334．已知角A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC－sinBsinC＝12.(1)求角A；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)因为cosBcosC－sinBsinC＝12，即cos(B＋C)＝12.所以B＋C＝60°，从而A＝120°.(2)由余弦定理，得b2＋c2＋bc＝a2＝12，①又b＋c＝4，所以b2＋c2＋2bc＝16.②由①②得bc＝4.所以S△ABC＝12bcsinA＝12×4×32＝3.