2019-2020学年高中数学 第二章 解三角形 1.3 正弦定理和余弦定理习题课课件 北师大版必修

第二章解三角形1．3正弦定理和余弦定理习题课利用正、余弦定理解三角形在△ABC中，若c·cosB＝b·cosC，且cosA＝23，求sinB的值．【解】由c·cosB＝b·cosC，结合正弦定理得，sinCcosB＝sinBcosC，故sin(B－C)＝0，易知B＝C，故b＝c.因为cosA＝23，所以由余弦定理得3a2＝2b2，再由余弦定理得cosB＝66，故sinB＝306.正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择．1.在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对应的边，且3a＝2csinA.(1)确定角C的大小；(2)若c＝7，且△ABC的面积为332，求a＋b的值．解：(1)由3a＝2csinA及正弦定理得，ac＝2sinA3＝sinAsinC.因为sinA≠0，所以sinC＝32.因为△ABC是锐角三角形，所以C＝π3.(2)法一：因为c＝7，C＝π3，由面积公式得12absinπ3＝332，即ab＝6.(i)由余弦定理得，a2＋b2－2abcosπ3＝7，即a2＋b2－ab＝7.(ii)由(ii)变形得(a＋b)2＝3ab＋7.(iii)将(i)代入(iii)，得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.法二：前同法一，联立(i)、(ii)得a2＋b2－ab＝7，ab＝6⇒a2＋b2＝13，ab＝6，消去b并整理得a4－13a2＋36＝0，解得a2＝4或a2＝9.所以a＝2b＝3或a＝3b＝2.故a＋b＝5.正、余弦定理与三角恒等变形的综合设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sinA＋π4的值．【解】(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB．由正、余弦定理得a＝2b·a2＋c2－b22ac.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝23.(2)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝－13.由于0Aπ，所以sinA＝1－cos2A＝1－19＝223.故sinA＋π4＝sinAcosπ4＋cosAsinπ4＝223×22＋－13×22＝4－26.本例所有条件不变，试求cos2A－π6的值．解：由例题(2)知sin2A＝2sinAcosA＝2×223×－13＝－429，cos2A＝cos2A－sin2A＝19－89＝－79.所以cos2A－π6＝cos2Acosπ6＋sin2Asinπ6＝－79×32＋－429×12＝－7318－4218＝－73＋4218.对于条件是边角关系混合在一起的等式，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识，三角恒等变形、代数恒等变形等方法进行转化、化简，从而得出结论．2.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2B＋C2－cos2A＝72.(1)求A的度数；(2)若a＝3，b＋c＝3，求b和c的值．解：(1)由4sin2B＋C2－cos2A＝72及A＋B＋C＝180°，得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝72，4(1＋cosA)－4cos2A＝5，即4cos2A－4cosA＋1＝0，所以(2cosA－1)2＝0，解得cosA＝12.因为0°A180°，所以A＝60°.(2)由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc.因为cosA＝12，所以b2＋c2－a22bc＝12，化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，将a＝3，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.则由b＋c＝3，bc＝2，解得b＝1，c＝2或b＝2，c＝1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝35，a＝7且AB→·BC→＝－21，求角C.【解】因为AB→·BC→＝－21.所以BA→·BC→＝21.所以BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|·cosB＝accosB＝21.所以ac＝35，又因为a＝7，所以c＝5，因为cosB＝35，所以sinB＝45.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝32，所以b＝42.由正弦定理csinC＝bsinB，得sinC＝cbsinB＝542×45＝22.因为cb且B为锐角，所以C一定是锐角．所以C＝45°.该题是向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系，再利用正、余弦定理求解．3.(1)在△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，a·b0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于()A．30°B．150°C．60°D．120°(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3，求：①a和c的值；②cos(B－C)的值．解：(1)选B.因为AB→·AC→0，所以∠BAC为钝角，又S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154.所以sin∠BAC＝12，所以∠BAC＝150°，(2)①由BA→·BC→＝2得c·acosB＝2.又cosB＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB．又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×13＝13.解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为ac，所以a＝3，c＝2.②在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223，由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23×223＝429.因为a＝bc，所以C为锐角，因此cosC＝1－sin2C＝1－4292＝79.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝13×79＋223×429＝2327.规范解答三角形中的范围问题(本题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．【解】(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－3sinA·cosB＝0，即有sinAsinB－3sinAcosB＝0.(2分)因为sinA≠0，所以sinB－3cosB＝0.又cosB≠0，所以tanB＝3.(4分)又0Bπ，所以B＝π3.(6分)(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB．因为a＋c＝1，cosB＝12，有b2＝3a－122＋14.(10分)又0a1，于是有14≤b21，即有12≤b1.(12分)(1)据三角形内角和定理把已知条件转化为角B的一个三角函数是求B的关键．结合(1)的结果，应用余弦定理把b2表示成a的函数，根据a的范围求出b的范围是本题的难点．(2)在解决三角形问题时，注意挖掘题目中隐含的条件及边、角范围．同时要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒等变形．1．在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝13，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形解析：选C.由余弦定理得cosB＝82＋102－1322×8×10＝－1320，所以角B为钝角，故三角形为钝角三角形．2．在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝83，则三角形的面积为()A．323B．16C．323或16D．323或163解析：选D.根据sinBb＝sinAa，解得sinB＝32，则B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，所以S△ABC＝12absinC＝323；当B＝120°时，C＝30°，所以S△ABC＝12absinC＝163.3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝________．解析：由C＝2B得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理及8b＝5c得cosB＝sinC2sinB＝c2b＝45，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×452－1＝725.答案：7254．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝3BD，BC＝2BD，求sinC的值．解：设AB＝a，所以AD＝a，BD＝2a3，BC＝2BD＝4a3，cosA＝AB2＋AD2－BD22AB·AD＝2a2－43a22a2＝13，所以sinA＝1－cos2A＝223.由正弦定理知sinC＝ABBC·sinA＝34×223＝66.