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第1页§2排序不等式第2页知识探究第3页1.顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意一个排列．(1)顺序和：a1b1＋a2b2＋…＋anbn．(2)乱序和：a1c1＋a2c2＋…＋ancn．(3)反序和：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1．第4页2．排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．第5页1.对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了．第6页2．排序不等式的本质两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．3．排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝b3＝…＝bn.第7页4．排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等式关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.第8页课时学案第9页题型一利用排序不等式求最值例1设a，b，c为任意正数，求ab＋c＋bc＋a＋ca＋b的最小值．第10页【解析】不妨设a≥b≥c，则a＋b≥a＋c≥b＋c，1b＋c≥1c＋a≥1a＋b，由排序不等式，得ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥bb＋c＋cc＋a＋aa＋b，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥cb＋c＋ac＋a＋ba＋b.第11页上述两式相加得：2(ab＋c＋bc＋a＋ca＋b)≥3，即ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥32.当且仅当a＝b＝c时，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b取最小值32.第12页探究1利用排序原理求最值的方法技巧求最小(大)值，往往所给式子的是顺(反)序和式，然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理适当构造出一个或二个乱序和从而求出其最小(大)值．第13页思考题1(1)已知两组数1，2，3和4，5，6，若c1，c2，c3是4，5，6的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．(2)设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，求a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2的最小值．第14页【解析】(1)由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32；最小值为28.(2)不妨设a3a1a20，则1a31a11a2，所以a1a2a2a3a3a1.设乱序和S＝a1a3a3＋a1a2a1＋a3a2a2＝a1＋a2＋a3＝1，顺序和S′＝a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2≥a1＋a2＋a3＝1.所以a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2的最小值为1.【答案】(1)3228(2)1第15页题型二利用排序不等式证明不等式例2已知a，b，c都是正数，求证：1a＋1b＋1c≤a8＋b8＋c8a3b3c3.【证明】由于a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c0，则1c≥1b≥1a.因而1b3c3≥1c3a3≥1a3b3.又a5≥b5≥c5.由排序不等式，得第16页a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥a5c3a3＋b5a3b3＋c5b3c3＝a2c3＋b2a3＋c2b3.又由不等式性质，知a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3.根据排序不等式，得a2c3＋b2a3＋c2b3≥a2a3＋b2b3＋c2c3＝1a＋1b＋1c.由不等式的传递性知1a＋1b＋1c≤a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3＝a8＋b8＋c8a3b3c3.第17页探究2利用排序不等式证明不等式的策略(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序号．利用排序不等式证明即可．(2)在排序不等式的条件中，需要限定各数值的大小关系，如果对于它们之间并没有序先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们要根据各字母在不等式中的地位的对称性将它们按一定顺序排列起来，进而用不等关系来解题．第18页思考题2(1)设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则P＝x2y＋y2z＋z2x与1的大小关系为()A．P＝1B．P1C．P≥1D．P≤1第19页【解析】由x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，不妨设x≥y≥z，则x2≥y2≥z2，1x≤1y≤1z.由排序不等式x2y＋y2z＋z2x≥x2x＋y2y＋z2z＝x＋y＋z＝1.当且仅当x＝y＝z＝13时等号成立，所以P≥1.【答案】C第20页(2)已知a，b，c为正数，用排序不等式证明：2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．第21页【证明】取两组数a，b，c；a2，b2，c2.不管a，b，c的大小如何，a3＋b3＋c3都是顺序和，而a2b＋b2c＋c2a及a2c＋b2a＋c2b都是乱序和，因此，a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，a3＋b3＋c3≥a2c＋b2a＋c2b.所以2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)．第22页课后巩固第23页1．有两组数：1，2，3与10，15，20，它们的顺序和、反序和分别是()A．100，85B．100，80C．95，80D．95，85第24页答案B解析由顺序和和反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80.第25页2．(2015·浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋czB．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cxD．ay＋bx＋cz第26页答案B解析由排序不等式知反序和最小，因此在不同方案中最低的总费用是az＋by＋cx，故选B.第27页3．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1，2，3，4，5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值和最小值分别是()A．132，6B．304，212C．22，6D．21，36第28页答案B解析由顺序和最大，得最大值为a1b1＋a2b2＋…＋a5b5＝304，反序和最小，得a1b5＋a2b4＋…＋a5b1＝212.第29页4．已知a，b，c为正数，P＝b2c2＋c2a2＋a2b2a＋b＋c，Q＝abc，则P，Q的大小关系是()A．PQB．P≥QC．PQD．P≤Q第30页答案B解析设a≥b≥c0，则01a≤1b≤1c，0bc≤ca≤ab.由顺序和≥乱序和，得bca＋cab＋abc≥bcc＋caa＋abb，即b2c2＋c2a2＋a2b2abc≥a＋b＋c.∵a，b，c为正数，∴abc0，a＋b＋c0.∴b2c2＋c2a2＋a2b2a＋b＋c≥abc，即P≥Q.第31页5．设a1，a2，…，an为1，2，…，n的一个排列，求证：12＋23＋…＋n－1n≤a1a2＋a2a3＋…＋an－1an.证明设b1，b2，…，bn－1为a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1b2…bn－1，c1，c2，…，cn－1为a2，a3，…，an的一个排列，且c1c2…cn－1，于是1c11c2…1cn－1.第32页由排序不等式：乱序和≥反序和，得a1a2＋a2a3＋…＋an－1an≥b1c1＋b2c2＋…＋bn－1cn－1.①由于b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n，于是b1c1＋b2c2＋…＋bn－1cn－1≥12＋23＋…＋n－1n，即12＋23＋…＋n－1n≤b1c1＋b2c2＋…＋bn－1cn－1.②综合①②，得证．第33页