2019-2020学年高中数学 第二章 几何重要的不等式 2-1-1 简单形式的柯西不等式课件 北师

第1页第二章几何重要的不等式第2页§1柯西不等式1．1简单形式的柯西不等式第3页知识探究第4页简单形式的栖西不等式第5页1.柯西不等式三种形式的关系根据向量的意义及其坐标表示不难发现简单形式的柯西不等式及简单形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示．第6页2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件(1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号．(2)向量形式中当α＝kβ或β＝0时取等号．(3)三角形式中当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号．3．简单形式的柯西不等式的变式(1)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|.(2)a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|.(3)a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd.第7页课时学案第8页题型一一般柯西不等式代数形式的应用例1(1)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1.第9页【证明】由柯西不等式，得(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1.∴|ax＋by|≤1.第10页(2)设m2x2＋n2y2＝1，求证：x2＋y2≥(m＋n)2.【思路】观察结构―→凑成柯西不等式的结构―→利用公式得出结论．第11页【证明】∵m2x2＋n2y2＝1，∴x2＋y2＝(x2＋y2)(m2x2＋n2y2)≥(x·mx＋y·ny)2＝(m＋n)2.第12页探究1利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R＋.第13页思考题1若本题改为“4x＋9y＝2，x，y∈R＋，求x＋y的最小值”，应如何求解？第14页【解析】∵x＋y＝12(x＋y)(4x＋9y)≥12(x·4x＋y·9y)2＝12(2＋3)2＝252，即(x＋y)min＝252.第15页题型二一般柯西不等式的向量形式的应用例2已知a，b∈R＋，且a＋b＝1.求证：(ax＋by)2≤ax2＋by2.【思路】设基本向量―→凑公式结构―→利用公式得结论．第16页【证明】设m＝(ax，by)，n＝(a，b)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m|·|n|＝（ax）2＋（by）2·（a）2＋（b）2＝ax2＋by2·a＋b＝ax2＋by2.∴(ax＋by)2≤ax2＋by2.第17页探究2使用向量形式的柯西不等式时要注意向量模的计算公式|α|＝x2＋y2对数学式子变形的影响．第18页思考题2已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：(a＋b)2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.第19页【证明】设m＝(acosθ，bsinθ)，n＝(cosθ，sinθ)，|a＋b|＝acosθ·cosθ＋bsinθ·sinθ＝|m·n|≤|m|·|n|＝（acosθ）2＋（bsinθ）2·1＝a2cos2θ＋b2sin2θ，∴(a＋b)2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.第20页题型三利用简单形式的柯西不等式求最值例3已知x，y，a，b∈R＋，且ax＋by＝1，求x＋y的最小值．【解析】构造两组实数x，y；ax，by.因为x，y，a，b∈R＋，ax＋by＝1，所以x＋y＝[(x)2＋(y)2]·[(ax)2＋(by)2]≥(a＋b)2.当且仅当x·by＝y·ax，即xy＝ab时，等号成立．所以(x＋y)min＝(a＋b)2.第21页探究3利用二维形式的柯西不等式求最值的技巧(1)求某些解析式的最小值时，要把这个解析式看成柯西不等式的左边构造不等式．(2)求某个解析式的最大值时，要把这个解析式看成柯西不等式的右边构造不等式．在构造过程中系数的选择是关键．第22页思考题3(1)已知3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为________．(2)设a，b∈R，且a2＋b2＝10，求3a＋b的最大值与最小值．第23页【解析】(1)(2x＋y)2＝[3x·(23)＋(2y)·12]2≤(3x2＋2y2)(43＋12)≤6×116＝11.所以2x＋y≤11，当且仅当3x·12＝2y·23时，等号成立，所以2x＋y的最大值为11.第24页(2)利用栖西不等式得，(3a＋b)2＝(a·3＋b·1)2≤(a2＋b2)(32＋12)＝10×10＝100，即(3a＋b)2≤100，所以|3a＋b|≤10，－10≤3a＋b≤10，当且仅当a＝3b时，所以a2＝9，b2＝1.所以当a＝－3，b＝－1时，3a＋b有最小值为－10；当a＝3，b＝1时，3a＋b有最大值为10.【答案】(1)11(2)－1010第25页课后巩固第26页1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是()A．[－25，25]B．[－210，210]C．[－10，10]D．(－5，5]第27页答案A解析∵a2＋b2＝10，∴(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2.即20≥(a＋b)2，∴－25≤a＋b≤25.第28页2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是()A.56B.65C.2536D.3625第29页答案B解析2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)(12＋13)·65≥65(2x·22＋3y·33)2＝65(x＋y)2＝65.第30页3．若实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b(a≠b)，则mx＋ny的最大值是()A.a＋b2B.abC.a2＋b22D.aba＋b第31页答案B解析因为(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab(当且仅当my＝nx时取等号)，所以mx＋ny≤ab，故选B.第32页4．若2x＋3y＝1，则4x2＋9y2的最小值为________．答案12解析∵(4x2＋9y2)(22＋22)≥(4x＋6y)2＝4，∴(4x2＋9y2)≥48＝12.第33页5．已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.证明(a1b1＋a2b2)(a1b1＋a2b2)＝[(a1b1)2＋(a2b2)2][(a1b1)2＋(a2b2)2]≥(a1b1·a1b1＋a2b2·a2b2)2＝(a1＋a2)2.第34页