2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）章末归纳整合课件 新人教A版必修1

章末归纳整合解指数不等式与对数不等式是本章常见题型，其解法主要是“同底法”，通过等价转化，将指数、对数不等式(或方程)转化为一次或二次不等式(或方程)，若是含有参数的不等式，结合函数的单调性，一般需利用分类讨论的思想方法判断.分类讨论思想【例1】若－1＜loga23＜1，求实数a的取值范围.【分析】－1＝loga1a，1＝logaa，根据y＝logax的单调性求解.【解析】－1＜loga23＜1⇒loga1a＝－1＜loga23＜1＝logaa，①当a＞1时，有y＝logax为增函数，1a＜23＜A．∴a＞32.结合a＞1，故a＞32.②当0＜a＜1时，有y＝logax为减函数，1a＞23＞A．∴a＜23.结合0＜a＜1，故0＜a＜23.∴实数a的取值范围是a|0＜a＜23或a＞32.【点评】本题对于－1及1的转化形式是入手点，讨论单调性是关键点.1.求函数y＝loga(a－ax)(a0且a≠1)的定义域和值域.【解析】∵a－ax0，∴aax.当a1时，x1，则f(x)的定义域为(－∞，1)；当0a1时，x1，则f(x)的定义域为(1，＋∞).∵ax0，∴0a－axa当a1时，loga(a－ax)logaa＝1，函数f(x)的值域为(－∞，1)；当0a1时，loga(a－ax)logaa＝1，函数f(x)的值域为(1，＋∞).综上所述，当a1时，函数f(x)的定义域与值域均为(－∞，1)；当0a1时，函数f(x)的定义域与值域均为(1，＋∞).指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象与性质都与a的取值有密切的联系，幂函数y＝xα的图象与性质与α的取值有关，a，α变化时，函数的图象与性质也随之改变，因此，在a，α的值不确定时，要对它们进行分类讨论.数形结合思想【例2】当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，求实数a的取值范围.【分析】分别作出y＝(x－1)2及y＝logax的图象，数形结合求解.【解析】设y1＝(x－1)2，y2＝logax，则y1和y2的图象如图所示.对一切x∈(1,2)，要使y1y2恒成立，显然有a1，并且当x＝2时，y2≥y1，即loga2≥1＝logaa，所以有1＜a＜2.【点评】不等式两端的式子属不同类型，无法直接求解.根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图象去讨论，可直接得出结果.2.在y＝2x，y＝log2x，y＝x2这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使fx1＋x22＞fx1＋fx22恒成立的函数的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】fx1＋x22＞fx1＋fx22恒成立的图象是向上凸的，故只有y＝log2x满足，故选B．一般来说，小题对指数函数、对数函数、幂函数的考查，仅限于这三类函数本身的概念、图象与性质.而解答题往往注重考查与这三类函数有关的复合函数的性质.这类题目的解题思想是：通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成这三类函数来处理.等价转化思想【例3】已知函数f(x)＝13x，如果x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a).【分析】将f(x)＝13x代入，转化为求解二次函数的最值问题，解题时要注意函数的定义域.【解析】∵x∈[－1,1]，∴13x∈13，3.∴y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝132x－2a13x＋3＝13x－a2＋3－a2.令t＝13x，则t∈13，3.若a13，则当t＝13，即x＝1时，ymin＝19－2a3＋3＝289－2a3.若13≤a≤3，则当t＝a，即x＝log13a时，ymin＝3－a2.若a3，则当t＝3，即x＝－1时，ymin＝9－6a＋3＝12－6A．综上所述，g(a)＝289－2a3a13，3－a213≤a≤3，12－6aa3.【点评】解决本题的关键是将函数转化为二次函数，利用二次函数对称轴与区间的位置关系分情况求解最小值.3.已知函数y＝ax2－3x＋3在x∈[1,3]时有最小值18，求a的值.【解析】令t＝x2－3x＋3＝x－322＋34，当x∈[1,3]时，t∈34，3.①若a＞1时，则ymin＝a34＝18，解得a＝116，与a＞1矛盾.②若0＜a＜1，则ymin＝a3＝18，解得a＝12，满足题意.综合①②，知a＝12.【分析】(1)证明函数是增函数，可根据设值、求差、定号、得结论的步骤完成；(2)由奇函数的性质得到函数解析式所满足的关系式，求解此式即可得a的值.函数与方程思想设a是实数，函数f(x)＝a－22x＋1(x∈R).(1)证明：不论a为何实数，函数f(x)均为增函数；(2)试确定a的值，使函数f(x)为奇函数.【解析】(1)证明：设x1，x2∈R且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝a－22x2＋1－a－22x1＋1＝22x2－2x12x2＋12x1＋1.∵x1x2，∴2x22x10.∴2x2－2x10,2x2＋10,2x1＋10.∴f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1).故不论a为何值，函数f(x)均为增函数.(2)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，∴2a＝22x＋1＋22－x＋1＝2＋2·2x2x＋1＝2，∴a＝1.经检验可知，当a＝1时，f(x)为奇函数.【点评】在求解a的值时，需要利用奇函数的定义建立关于a的方程，求解参数.4.设a1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝()A．2B．2C．22D．4【答案】D【解析】由a＞1知，f(x)＝logax在区间[a,2a]上为增函数，所以f(x)max＝loga(2a)＝1＋loga2，f(x)min＝logaa＝1.所以loga2＝12，得a＝4.1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考的热点问题.2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.1．(2018年新课标Ⅱ)函数f(x)＝ex－e－xx2的图象大致为()【答案】B【解析】∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴f(x)＝ex－e－xx2是奇函数，图象关于原点对称，排除A.当x＝1时，f(1)＝e－e－11＝e－1e0，排除D.又e2，∴1e12，∴e－1e1，排除C.故选B.2．(2018年天津)已知a＝log372，b＝1413，c＝log1315，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．cbaD．cab【答案】D【解析】∵c＝log1315＝log35，a＝log372，又y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，∴log35log372log33＝1，∴ca1.∵y＝14x在(－∞，＋∞)上是减函数，∴1413140＝1，即b1.∴cab.故选D.3．(2018年新课标Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)【答案】B【解析】函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．故选B.4．(2018年新课标Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x＞0，则满足f(x＋1)f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)【答案】D【解析】∵f(x)＝2－x，x≤0，1，x＞0，∴函数f(x)的图象如图所示．由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x，解得x≤－1.当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x)，此时－1＜x＜0.综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．故选D.5．(2018年上海)设常数a∈R，函数f(x)＝log2(x＋a)．若f(x)的反函数的图象经过点(3,1)，则a＝________.【答案】7【解析】∵f(x)的反函数的图象经过点(3,1)，∴函数f(x)＝log2(x＋a)的图象经过点(1,3)，∴log2(1＋a)＝3，解得a＝7.6．(2018年新课标Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.【答案】－2【解析】∵f(x)＋f(－x)＝ln(1＋x2－x)＋1＋ln(1＋x2＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2.