2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.2.2 对数函数性质的应用课件

2．2对数函数2.2.2对数函数及其性质第2课时对数函数性质的应用第二章基本初等函数(Ⅰ)课前自主预习1．对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的性质(1)定义域：．(2)值域：．(3)定点：．(4)单调性：．□1(0，＋∞)□2(－∞，＋∞)□3(1,0)□4a1时，在(0，＋∞)上是增函数；0a1时，在(0，＋∞)上是减函数(5)函数值的变化当a1，；当0a1，．(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解．□5x1时，y∈(0，＋∞)，0x1时，y∈(－∞，0)□6x1时，y∈(－∞，0)，0x1时，y∈(0，＋∞)2.反函数的概念对数函数y＝logax(a0，且a≠1)与，它们的图象．□7指数函数y＝ax(a0，且a≠1)互为反函数□8关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域1．(教材改编P73T3)判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)ln0.3ln2.()(2)loga3.1loga5.2(a0，且a≠1)．()(3)log0.53log0.54.()(4)logπelogπe2.()√××√2．做一做(1)比较正数m，n的大小，log4mlog4n，则m______n.(2)已知log2a1，那么a的取值范围是________．(3)已知loga34loga1，则a的取值范围为__________．(0,2)(1，＋∞)课堂互动探究『释疑解难』(1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．互为反函数的两个函数的定义域、值域的关系如下表所示：函数y＝f(x)反函数y＝f－1(x)定义域AC值域CA(2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性．(3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．(4)求反函数的步骤：①求出函数y＝f(x)的值域；②由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；③把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．(5)如何解以下三类不等式：①形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论．②形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．③形如logaxlogbx的不等式，可利用图象求解．探究1对数式的大小比较例1比较下列各组中两个值的大小：(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.14(a0，a≠1)．解(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9log32.(2)因为log23log21＝0，log0.32log0.31＝0，所以log23log0.32.(3)当a1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπloga3.14；当0a1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则有logaπloga3.14.综上所得，当a1时，logaπloga3.14；当0a1时，logaπloga3.14.拓展提升比较对数式大小的常用方法(1)比较同底的两个对数式的大小，常利用对数函数的单调性．(2)比较不同底数的两个对数式的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图象的位置关系比较大小．(3)比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助中间量(如1,0，－1等)．(4)比较多个对数式的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数式的大小即可．(5)比较含参数的两个对数式的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件．例如：比较loga(b2－b＋1)与loga12的大小时，要注意隐含条件：b2－b＋1＝b－122＋34≥3412.【跟踪训练1】比较下列各组中两个值的大小：(1)3log45,2log23；(2)log30.2，log40.2；(3)log3π，logπ3；(4)log0.20.1,0.20.1.解(1)∵3log45＝log4125,2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，又12581，∴3log452log23.(2)∵0log0.23log0.24，∴1log0.231log0.24，即log30.2log40.2.(3)∵函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且π3，∴log3πlog33＝1.同理，1＝logππlogπ3，所以log3πlogπ3.(4)∵函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减函数，且0.10.2，∴log0.20.1log0.20.2＝1.∵函数y＝0.2x在R上是减函数，且00.1，∴0.20.10.20＝1.∴log0.20.10.20.1.探究2对数函数的单调性例2(1)已知log0.7(2x)log0.7(x－1)，求x的取值范围；(2)已知loga121，求a的取值范围；(3)求函数y＝log12(1－x2)的单调递增区间．解(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.7(2x)log0.7(x－1)，得2x0，x－10，2xx－1，解得x1.∴x的取值范围为(1，＋∞)．(2)由loga121，得loga12logaa.①当a1时，有a12，此时无解．②当0a1时，有12a，所以12a1.∴a的取值范围是12，1.(3)要使函数有意义，则有1－x20⇔x21⇔－1x1.∴函数的定义域为(－1,1)．令t＝1－x2，x∈(－1,1)．在(－1,0)上，x增大，t增大，y＝log12t减小，即在(－1,0)上，y随x的增大而减小，为减函数；在[0,1)上，x增大，t减小，y＝log12t增大，即在[0,1)上，y随x的增大而增大，为增函数．∴y＝log12(1－x2)的单调递增区间为[0,1)．[结论探究]本例(3)中改求此函数的值域．解y＝log12u，u＝1－x2，可知0u≤1，∴y＝log12u的值域为[0，＋∞)．拓展提升求对数型函数单调区间的方法(1)求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．(2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求证；②借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，利用“同增，异减”的结论，从而判定y＝logaf(x)的单调性并确定单调区间．(3)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．【跟踪训练2】求函数y＝lg(x2－2x)的单调递增区间．解由已知，得x2－2x0，解得x2或x0.因为y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1]上是减函数，而y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，所以y＝lg(x2－2x)的单调递增区间为(2，＋∞)．探究3对数函数性质的综合应用例3已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝log12(x＋7)．(1)求f(1)，f(－1)；(2)求函数f(x)的表达式；(3)若f(a－1)－f(3－a)＜0，求a的取值范围．解(1)f(1)＝log128＝－3，f(－1)＝－f(1)＝3.(2)因为f(x)在R上为奇函数，所以f(0)＝0，令x＜0，则－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－log12(－x＋7)，所以f(x)＝log12x＋7，x＞0，0，x＝0，－log12－x＋7，x＜0.(3)当x∈(0，＋∞)时，y＝log12(x＋7)，令u＝x＋7，则y＝log12u.由于u＝x＋7是增函数，y＝log12u是减函数，则y＝log12(x＋7)在(0，＋∞)上是减函数，又由于f(x)是奇函数且f(0)＝0，所以y＝f(x)是R上的减函数．由f(a－1)f(3－a)，得a－13－a，解得a2.[条件探究]本例中，若函数f(x)是偶函数，试求当x＜0时，函数f(x)的表达式．解令x＜0，则－x＞0，因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝log12(－x＋7)＝log12(7－x)．故当x＜0时，f(x)＝log12(7－x)．拓展提升图象与性质是解决对数函数问题的常用方法对数函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提．【跟踪训练3】已知函数f(x)＝lga－x1＋x.(1)若f(x)为奇函数，求a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求m，n的值．解(1)∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，即lga－x1＋x＋lga＋x1－x＝0，∴a－xa＋x1－x2＝1，解得a＝1(a＝－1舍去)．(2)由(1)知f(x)＝lg1－x1＋x，则1－x1＋x0，即1－x0，1＋x0或1－x0，1＋x0，解得－1x1，即其定义域为(－1,1)．∵x∈(－1,1)时，t＝1－x1＋x＝－1＋21＋x为减函数，而y＝lgt在定义域内为增函数，∴f(x)＝lg1－x1＋x在其定义域内是减函数，则m＝－1，由题意知f(n)＝lg1－n1＋n＝－1，解得n＝911，即m＝－1，n＝911.探究4反函数的应用例4写出下列函数的反函数(用x表示自变量，用y表示函数)：(1)y＝2.5x；(2)y＝log16x.解(1)函数y＝2.5x的反函数是y＝log2.5x(x0)．(2)由y＝log16x得x＝16y，所以函数y＝log16x的反函数为y＝16x.拓展提升(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称．【跟踪训练4】已知函数f(x)＝ax－k(a0，a≠1)的图象过点(1,3)，其反函数的图象过点(2,0)，求函数f(x)的解析式．解由于函数f(x)的反函数的图象过点(2,0)，∴f(x)的图象过点(0,2)，∴2＝a0－k，即k＝－1，∴f(x)＝ax＋1.又f(x)的图象过点(1,3)，∴3＝a＋1，即a＝2，∴f(x)＝2x＋1.1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.y＝ax与x＝logay图象是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称，因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称.随堂达标自测1．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．acbB．bcaC．cbaD．cab解析a＝log32log33＝1；c＝log23log22＝1，由对数函数的性质可知log52log32，∴bac，故选D.2．函数y＝log3x(1≤x≤9)的值域为()A．[0，＋∞)B．RC．(－∞，2]D．[0,2]解析∵函数y＝log3x在区间[1,9]上是增函数，∴log31≤log3x≤log39，∴log3x∈[0,2]．3．函数f(x)＝lg1x2＋1＋x的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析∵f(x)的定义域为R，f(－x)＝lg1x2＋1－x＝lg(x