2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.2 对数函数及其性质（第2课时）

第2课时对数函数及其性质的应用(习题课)第二章基本初等函数(Ⅰ)考点学习目标核心素养比较对数值的大小利用对数的性质及对数函数的单调性比较大小逻辑推理解对数不等式会利用对数函数的单调性求解不等式逻辑推理，数学运算第二章基本初等函数(Ⅰ)考点学习目标核心素养对数型函数的单调性会求与对数函数有关的复合型函数的单调性逻辑推理，数学运算与对数函数有关的值域与最值问题会利用对数函数的单调性及换元法求解与对数函数有关的值域或最值问题数学运算第二章基本初等函数(Ⅰ)比较下列各组中两个值的大小．(1)ln0.3，ln2；(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，a≠1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3π，logπ3.比较对数值的大小【解】(1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数．又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.(3)因为0＞log0.23＞log0.24，所以1log0.23＜1log0.24，即log30.2＜log40.2.(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1，同理，1＝logππ＞logπ3，即log3π＞logπ3.比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．[注意]比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．1．设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则()A．abcB．bacC．acbD．cba解析：选C.a＝log2π1，b＝log12π0，c＝π－2∈(0，1)，所以acb.2．已知log23blog23alog23c，则()A．2a2b2cB．2b2a2cC．2c2b2aD．2c2a2b解析：选B.由于函数y＝log23x为减函数，因此由log23blog23alog23c，可得bac，又由于函数y＝2x为增函数，所以2b2a2c.解下列不等式：(1)log17x＞log17(4－x)；(2)logx12＞1；(3)loga(2x－5)＞loga(x－1)．解对数不等式【解】(1)由题意可得x＞0，4－x＞0，x＜4－x，解得0＜x＜2.所以原不等式的解集为(0，2)．(2)当x＞1时，logx12＞1＝logxx，解得x＜12，此时不等式无解．当0＜x＜1时，logx12＞1＝logxx，解得x＞12，所以12＜x＜1.综上所述，原不等式的解集为12，1.(3)当a＞1时，原不等式等价于2x－5＞0，x－1＞0，2x－5＞x－1，解得x＞4.当0＜a＜1时，原不等式等价于2x－5＞0，x－1＞0，2x－5＜x－1，解得52＜x＜4.综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞4}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为x|52＜x＜4.对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logf(x)a＞logg(x)a(f(x)，g(x)＞0且不等于1，a＞0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．1．已知log0.22xlog0.2(x－1)，则x的取值范围为________．解析：因为函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减函数，所以由log0.22xlog0.2(x－1)得2x0，x－10，2xx－1，解得x1，即x的取值范围为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)2．若loga251(a0，且a≠1)，则实数a的取值范围为________．解析：loga251，即loga25logaa.当a1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，所以loga25logaa总成立；当0a1时，函数y＝logax在定义域内是减函数，由loga25logaa，得a25，即0a25.所以实数a的取值范围为0，25∪(1，＋∞)．答案：0，25∪(1，＋∞)求函数y＝log12(1－x2)的单调区间．对数型函数的单调性【解】要使y＝log12(1－x2)有意义，则1－x2＞0，所以x2＜1，所以－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1，1)．令t＝1－x2，x∈(－1，1)．当x∈(－1，0]时，x增大，t增大，y＝log12t减小，所以当x∈(－1，0]时，y＝log12(1－x2)是减函数；同理可知，当x∈[0，1)时，y＝log12(1－x2)是增函数．即函数y＝log12(1－x2)的单调递减区间是(－1，0]，单调递增区间为[0，1)．求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤(1)求出函数的定义域；(2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性；(3)判断出函数的增减性求出单调区间．[注意]要注意对底数进行分类讨论．求函数f(x)＝log2(1－2x)的单调区间．解：因为1－2x＞0，所以x＜12.又设u＝1－2x，则y＝f(u)是(0，＋∞)上的增函数．又u＝1－2x，则x∈－∞，12时，u(x)是减函数，所以函数f(x)＝log2(1－2x)的单调递减区间是－∞，12.求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log12(3＋2x－x2)．与对数函数有关的值域与最值问题【解】(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2.所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.因为u＞0，所以0＜u≤4.又y＝log12u在(0，＋∞)上为减函数，所以log12u≥log124＝－2，所以y＝log12(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．求对数型函数值域(最值)的方法对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数．(2)求f(x)的定义域．(3)求u的取值范围．(4)利用y＝logau的单调性求解．(2019·厦门高一检测)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于________．解析：当0＜a＜1时，因为y＝ax在[0，1]上为减函数，y＝loga(x＋1)在[0，1]上也是减函数，所以f(x)在[0，1]上为减函数，所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝12；同理，当a＞1时，f(x)在[0，1]上为增函数，所以f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝12，与a＞1矛盾．综上，a＝12.答案：121．函数y＝2＋log2x(x≥2)的值域为()A．(3，＋∞)B．(－∞，3)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]解析：选C.因为x≥2，所以log2x≥1，所以y≥3.2．已知f(x)＝log3x，则f14，f12，f(2)的大小关系是()A．f14f12f(2)B．f14f12f(2)C．f14f(2)f12D．f(2)f14f12解析：选B.因为f(x)＝log3x，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．又因为21214，所以f(2)f12f14.3．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是()A．(0，2]B．[－2，＋∞)C．(－∞，－2]D．[2，＋∞)解析：选B.－x2＋3x＋4＝－x－322＋254≤254，又－x2＋3x＋40，则0－x2＋3x＋4≤254，函数y＝log0.4x为(0，＋∞)上的减函数，则y＝log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4254＝－2，函数的值域为[－2，＋∞)．4．不等式log2(2x＋3)＞log2(5x－6)的解集为________．解析：由2x＋3＞0，5x－6＞0，2x＋3＞5x－6，解得x＞－32，x＞65，x＜3，即65＜x＜3，故不等式的解集为{x|65＜x＜3}．答案：{x|65＜x＜3}5．讨论函数f(x)＝log3(x2＋1＋x)的奇偶性．解：因为x2＋1＞|x|≥－x，所以x2＋1＋x＞0对任意实数都成立，故函数的定义域为R.又f(－x)＋f(x)＝log3(x2＋1－x)＋log3(x2＋1＋x)＝log3[(x2＋1)2－x2]＝log31＝0，所以函数f(x)＝log3(x2＋1＋x)为奇函数．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放