2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.2 对数函数及其性质（第1课时）

2．2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质第二章基本初等函数(Ⅰ)考点学习目标核心素养对数函数的概念理解对数函数的概念，会判断对数函数数学抽象对数函数的图象初步掌握对数函数的图象和性质直观想象对数函数的定义域问题能利用对数函数的性质解决与之有关的定义域问题数学运算第二章基本初等函数(Ⅰ)问题导学预习课本P70－73，思考以下问题：(1)对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？(2)对数函数的图象是什么形状？你能画出y＝log2x与y＝log12x的图象吗？(3)通过对数函数的图象，你能观察到函数的哪些性质？(4)反函数的概念是什么？1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝______________________叫做对数函数，其中____是自变量，函数的定义域是_________．logax(a0，且a≠1)(0，＋∞)x■名师点拨在对数函数的定义表达式y＝logax(a0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．形如y＝2log2x，y＝log2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．2．对数函数的图象及性质a的范围0＜a＜1a＞1图象性质定义域____________值域R定点_______，即x＝____时，y＝_____单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是_______(0，＋∞)(1，0)10增函数■名师点拨讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不能确定，必须分a1或0a1两种情况进行讨论．对数函数单调性的记忆口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数要求大于0，但等于1却不行；底数若是大于1，图象从左往右增；底数0到1之间，图象从左往右减；无论函数增或减，图象都过(1，0)点．3．反函数指数函数y＝ax(a0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝log2x2与y＝logx3都是对数函数．()(2)对数函数的定义域、值域都是R.()(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．()(4)当0＜a＜1时，若x＞1，则y＝logax的函数值都大于零．()(5)函数y＝log2x与y＝2x互为反函数．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√函数f(x)＝log2(x－1)的定义域为()A．(－∞，1)B．[1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)解析：选C.函数有意义需满足x－10，所以x1.函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为()A．5B.15C.1eD.12解析：选A.因为函数y＝logax的图象一直上升，所以函数y＝logax为单调增函数，所以a1.对数函数f(x)＝logax的图象过点(3，1)，则f(9)的值为________．答案：2若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．答案：(－∞，0)下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝logax(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x.对数函数的概念【解】(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.1．下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a0，且a≠1)；③y＝log(3－1)x；④y＝13log3x；⑤y＝logx3(x0，且x≠1)；⑥y＝log2πx，其中是对数函数的为()A．③④⑤B．②④⑥C．①③⑤⑥D．③⑥解析：选D.①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确．2．若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.答案：13．已知对数函数的图象过点116，－4，则f(4)＝________．解析：设函数f(x)＝logax，由已知得loga116＝－4，即a－4＝116，又a＞0且a≠1，所以a＝2，即f(x)＝log2x，故f(4)＝log24＝2.答案：2角度一作对数型函数的图象画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间：(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|log12x|.对数函数的图象【解】(1)函数y＝log3(x－2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y＝|log12x|＝log12x，0x≤1，log2x，x1，其图象如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．角度二对数型函数图象的辨析已知a＞0，且a≠1，则函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是()【解析】当a＞1时，函数y＝logax为增函数，且直线y＝x＋a与y轴的交点的纵坐标大于1；当0＜a＜1时，函数y＝logax为减函数，且直线y＝x＋a与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，故选C.【答案】C角度三对数型函数图象的数据分析如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则()A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1D．b＞a＞1【解析】作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.【答案】B有关对数型函数图象问题的应用技巧(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．1．已知a＞0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是()解析：选B.法一：若0＜a＜1，则函数y＝ax的图象下降且过点(0，1)，而函数y＝loga(－x)的图象上升且过点(－1，0)，以上图象均不符合．若a＞1，则函数y＝ax的图象上升且过点(0，1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1，0)，只有B中图象符合．法二：首先指数函数y＝ax的图象只可能在x轴上方，函数y＝loga(－x)的图象只可能在y轴左方，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．法三：如果注意到y＝loga(－x)的图象关于y轴的对称图象为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接确定选B.2．已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示．(1)求实数a与b的值；(2)函数y＝loga(x＋b)与y＝logax的图象有何关系？解：(1)由图象可知，函数的图象过(－3，0)点与(0，2)点，所以得方程0＝loga(－3＋b)与2＝logab，解得a＝2，b＝4.(2)函数y＝loga(x＋4)的图象可以由y＝logax的图象向左平移4个单位得到．求下列函数的定义域：(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(1－x)5；(3)y＝log0.5（4x－3）.与对数函数有关的定义域问题【解】(1)要使函数式有意义，需1－x0，解得x1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x1}．(2)要使函数式有意义，需1－x0，1－x≠1，解得x1，且x≠0，所以函数y＝log(1－x)5的定义域是{x|x1，且x≠0}．(3)要使函数式有意义，需4x－30，log0.5（4x－3）≥0，解得34x≤1，所以函数y＝log0.5（4x－3）的定义域是x|34x≤1.(1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则①分母不能为0；②根指数为偶数时，被开方数非负；③对数的真数大于0，底数大于0且不为1.(2)求函数定义域的步骤①列出使函数有意义的不等式(组)；②化简并解出自变量的取值范围；③确定函数的定义域．求下列函数的定义域：(1)y＝1lg（x＋1）－3；(2)y＝loga（5x＋3）(a＞0，且a≠1)．解：(1)由lg（x＋1）－3≠0，x＋1＞0得x＋1≠103，x＞－1，所以x＞－1，且x≠999，所以函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠999}．(2)loga(5x＋3)≥0⇒loga(5x＋3)≥loga1.当a＞1时，有5x＋3≥1，x≥－25.当0＜a＜1时，有0＜5x＋3≤1，解得－35＜x≤－25.综上所述，当a＞1时，函数的定义域为[－25，＋∞)，当0＜a＜1时，函数的定义域为－35，－25.1．下列函数是对数函数的是()A．y＝2＋log3xB．y＝loga(2a)(a0，且a≠1)C．y＝logax2(a0，且a≠1)D．y＝lnx解析：选D.判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．2．函数y＝log12（3x－2）的定义域是()A.[1，＋∞)B.23，＋∞C.23，1D.23，1解析：选D.要使函数有意义，需满足3x－20，log12（3x－2）≥0，即3x－20，3x－2≤1，解得23x≤1.所以函数的定义域为23，1.3．已知函数y＝3＋loga(2x＋3)(a＞0，且a≠1)的图象必经过定点P，则P点的坐标为________．解析：当2x＋3＝1，即x＝－1时，y＝3＋loga1＝3，因此函数图象必过点(－1，3)，即P(－1，3)．答案：(－1，3)4．已知函数y＝f(x)＝loga(x2－2)，且f(2)＝1，(1)求a的值；(2)求f(32)的值．解：(1)由f(2)＝1，得loga(22－2)＝1，所以loga2＝1，则a＝2.(2)由(1)知，f(x)＝log2(x2－2)，所以f(32)＝log2[(32)2－2]＝log216＝4.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放