2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.2 对数函数及其性质 第一课时

2.2.2对数函数及其性质第一课时对数函数的图象及性质[目标导航]课标要求1.初步理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的图象和性质.3.了解反函数的概念,知道指数函数与对数函数互为反函数.4.通过类比思想,利用指数函数探索对数函数的图象及性质,学会研究函数的方法.素养达成1.通过对对数函数概念的理解,培养数学抽象的核心素养.2.通过观察对数函数的图象,得出对数函数的性质,培养逻辑推理的核心素养.3.通过作出对数函数图象并能识别图象,培养直观想象的核心素养.4.通过同底数的指数函数、对数函数互为反函数,培养直观想象与数学抽象的核心素养.新知导学·素养养成1.对数函数的概念一般地,我们把函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是.y=logax(a0,且a≠1)x(0,+∞)2.对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域(0,+∞)值域R关键点过定点,即x=1时,y=0函数值的变化当0x1时,y0,当x1时,y0当0x1时,y0,当x1时,y0单调性在(0,+∞)上是函数在(0,+∞)上是函数对称性函数y=logax和函数y=x的图象关于x轴对称1loga(1,0)增减思考1:底数变化对对数函数图象形状有什么影响?对数函数的图象有什么特点?答案:(1)对图象的影响:比较图象与y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.也就是说,沿直线y=1由左向右看,底数a增大(如图).(2)对数函数图象的特点:函数y=logax(a0,且a≠1)的图象无限靠近y轴,但永远不会与y轴相交;在同一坐标系内,y=logax(a0,且a≠1)的图象与y=1logax(a0,且a≠1)的图象关于x轴(即直线y=0)对称.3.反函数对数函数y=logax(a0,且a≠1)和指数函数y=ax(a0,且a≠1)互为.反函数思考2:同底数的指数、对数函数的定义域、值域有何关系?答案:同底数的指数函数的定义域是同底数对数函数的值域,指数函数的值域是对数函数的定义域.思考3:互为反函数的两个函数图象有何特征?答案:关于直线y=x对称.名师点津(1)对数函数图象和性质的关系图象特征函数性质位于y轴右侧定义域为(0,+∞),值域为R恒过定点(1,0)对于任意的a0,且a≠1,总有loga1=0图象可以分为两类:一类图象在区间(0,1)内纵坐标都小于0,在区间(1,+∞)内纵坐标都大于0;另一类图象恰好相反当a1时,①若0x1,则logax0;②若x1,则logax0当0a1时,①若0x1,则logax0;②若x1,则logax0自左向右看,a1时图象逐渐上升;0a1时图象逐渐下降当a1时,y=logax是增函数;当0a1时,y=logax是减函数(2)若函数y=f(x)存在反函数,且点(a,b)在y=f(x)图象上,则点(b,a)必在其反函数图象上.课堂探究·素养提升解析:(1)因为函数y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数,所以2210,211,540,aaaa解得a=4.题型一对数函数的概念[例1](1)若函数y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数,则a=.答案:(1)4(2)已知对数函数的图象过点(116,-4),则f(4)=.解析:(2)设对数函数为f(x)=logax,又函数图象过点(116,-4),所以-4=loga116,所以a=2,所以f(x)=log2x,所以f(4)=log24=2.答案:(2)2方法技巧(1)判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:①系数为1;②底数为大于0且不等于1的常数;③对数的真数仅有自变量x.(2)若已知对数函数过定点求解析式时,常用待定系数法,设f(x)=logax(a0,且a≠1),将定点代入后利用指对数式互化或指数幂的运算性质求a.解:因为f(x)=k·logax是对数函数,所以k=1.故函数过点(9,2),则2=loga9,故a=3,则f(x)=log3x.因此f(127)=log3127=-3.即时训练1-1:若函数f(x)=k·logax是对数函数,且过点(8+k,2),求f(127).解析:因为函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,所以251,0,1,aaaa解得a=2,所以f(x)=log2x,所以f(18)=log218=-3.故选B.[备用例1]函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,则f(18)等于()(A)3(B)-3(C)-log36(D)-log38题型二对数函数的图象特征[例2](1)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a0,且a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是()(A)a0,c1(B)a1,0c1(C)0a1,c1(D)0a1,0c1解析:(1)由函数图象从左到右下降可知,函数是减函数,故0a1.又x=0时,logac0,即logacloga1,故0c1.故选D.解析:(2)法一由于y=lg|x-1|=lg1,1,lg1,1,xxxx因此当x1时,函数图象由y=lgx向右平移一个单位得到,结合选项知选A.法二由于f(x)=y=lg|x-1|满足f(0)=0,故函数y=lg|x-1|的图象过原点.又当x=2时,f(2)=0,故函数y=lg|x-1|的图象过点(2,0).故选A.(2)函数y=lg|x-1|的图象是()方法技巧求解与对数型函数有关的函数图象问题,首先应明确y=logax在a1与0a1时的函数图象特征,再结合函数图象的平移、翻折等方法研究对数型函数图象,要注意对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象上的三个特殊点(1,0),(a,1)和(1a,-1)的应用.解析:(1)因为a1时,函数y=logax是增函数,C,D不正确;直线y=(1-a)x的斜率小于0,所以A不正确,B正确.故选B.即时训练2-1:(1)当a1时,函数y=logax和y=(1-a)x的图象只可能是()解析:(2)法一若0a1,则函数y=ax的图象下降且过点(0,1),而函数y=loga(-x)的图象上升且过点(-1,0),选项中的图象均不符合.若a1,则函数y=ax的图象上升且过点(0,1),而函数y=loga(-x)的图象下降且过点(-1,0),只有B中图象符合.故选B.法二首先指数函数y=ax的图象只可能在上半平面,函数y=loga(-x)的图象只可能在左半平面,从而排除A,C;再看单调性,y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,排除D.只有B中图象符合.故选B.(2)已知a0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是()题型三指数函数与对数函数的关系[例3]若函数f(x)是函数y=ax(a0,且a≠1)的反函数,其图象过点(a,a),则f(x)等于()(A)log2x(B)12logx(C)12x(D)x2解析:y=ax的反函数是y=logax,因为图象过点(a,a),所以a=logaa,所以a=12,即f(x)=12logx.故选B.A方法技巧(1)y=ax与y=logax(a0,且a≠1)互为反函数.(2)若函数y=f(x)存在反函数,且y=f(x)过点(a,b),则其反函数过点(b,a).(3)反函数的定义域是原函数的值域.即时训练3-1:若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f(12)的值为()(A)-log23(B)-log32(C)19(D)3解析:由题意可知f(x)=log3x,所以f(12)=log312=-log32,故选B.[备用例3]若函数f(x)=loga(x+b)+c(a0,且a≠1)的反函数图象恒过定点(2,3),则b+c=.解析:由题意知函数f(x)=loga(x+b)+c恒过定点(3,2),则2=loga(3+b)+c,故3+b=1且c=2,则b=-2,c=2,因此b+c=0.答案:0题型四对数(型)函数的定义域、值域[例4](12分)(1)求函数f(x)=22log3x的定义域;规范解答:(1)要使函数有意义,则22log30,30,xx即2log3230.xx…………………………2分因为log2(x+3)≤2,即log2(x+3)≤log24,所以x+3≤4,即x≤1.……………………4分所以-3x≤1.所以函数的定义域为(-3,1].……………6分(2)求函数f(x)=log2(x2+2x+9)的值域.规范解答:(2)因为x2+2x+9=(x+1)2+8≥8,……9分且y=log2x在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)≥log28=3.……………………………11分所以函数的值域为[3,+∞).……………………12分方法技巧(1)求解与对数或对数型函数有关的定义域问题,既要根据函数的解析式的特征列出自变量的不等式(如本题(1)中,函数f(x)=22log3x是一个偶次根式,因此被开方数非负),还要注意真数大于0的条件,而涉及与对数式有关的不等式还要利用对数函数的单调性转化为关于真数的不等式.(2)求对数型函数y=logaf(x)(a0,且a≠1)的值域,需根据a的范围及f(x)的取值范围求解.解:(1)要使函数有意义,则20,21,xx即2,1.xx因此函数f(x)的定义域是(-2,-1)∪(-1,+∞).因为log2(x+2)≠0,所以y=21log2x的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).即时训练4-1:(1)求f(x)=21log2x的定义域及值域;解:(2)由题意得3+2x-x20,即x2-2x-30,所以-1x3,所以函数f(x)=14log(3+2x-x2)的定义域是(-1,3).设t=3+2x-x2,则t=-(x-1)2+4≤4,又t0,故0t≤4.又y=14logt在(0,+∞)上是减函数,所以14logt≥14log4=-1,所以函数的值域为[-1,+∞).(2)求函数f(x)=14log(3+2x-x2)的定义域及值域.解:(1)①要使函数有意义,需1510,log10,xx即10,011,xx所以1x≤2,所以函数定义域为(1,2].[备用例4](1)求下列函数的定义域.①f(x)=15log1x;②f(x)=lgx+lg(5-3x).②要使函数有意义,则0,lg0,530,xxx即1,5.3xx所以1≤x53,所以函数定义域为[1,53).(2)(2019·内蒙古鄂尔多斯高一上期中)设函数f(x)=(log2x+2)(log2x+1)的定义域为[14,4].①若t=log2x,求t的取值范围;②求y=f(x)的最大值与最小值,并求出取最值时对应的x的值.解:(2)①因为t=log2x,而x∈[14,4],所以t的取值范围为区间[log214,log24]=[-2,2].②令t=log2x,设y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1)=g(t)=(t+2)(t+1)=t2+3t+2(-2≤t≤2),因为y=t2+3t+2在区间[-2,-32]上是减函数,在区间[-32,2]上是增函数,所以当t=log2x=-32,即x=24时,y=f(x)有最小值f(24)=g(-32)=-14;当t=log2x=2,即x=4时,y=f(x)有最大值f(4)=g(2)=12.(3)若函数f(x)=ln(x2+4x+t)的定义域、值域分别为R,求相应的t的范围.解:(3)由f(x)=ln(x2+4x+t)的定义域为R,知x2+4x+t0恒成立,所以Δ=16-4t0,即t4.由f(x)=ln(x2+4x+t)的值域为R,知x2+4x+t应取遍所有正数