2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.1 对数与对数运算（第2课时）对

第2课时对数的运算第二章基本初等函数(Ⅰ)考点学习目标核心素养对数的运算性质掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算数学运算换底公式了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数数学运算对数运算的综合问题能灵活运用对数的基本性质、对数的运算性质及换底公式解决对数运算问题数学运算第二章基本初等函数(Ⅰ)问题导学预习课本P64－67，思考以下问题：(1)对数具有哪三条运算性质？(2)换底公式是如何表述的？1．对数的运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0那么：(1)loga(M·N)＝_____________．(2)logaMN＝________________．(3)logaMn＝________(n∈R)．logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM■名师点拨对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．2．换底公式logab＝_______(a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0)．logcblogca■名师点拨牢记换底公式的三个常用推论(1)推论一：logac·logca＝1.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数．(2)推论二：logab·logbc·logca＝1.(3)推论三：logambn＝nmlogab.此公式表示底数变为原来的m次方，真数变为原来的n次方，所得的对数值等于原来对数值的nm倍．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()答案：(1)√(2)×(3)×已知a0且a≠1，则loga2＋loga12＝()A．0B.12C．1D．2答案：A计算log510－log52等于()A．log58B．lg5C．1D．2答案：C(1)lg10＝__________；(2)已知lna＝0.2，则lnea＝__________．答案：(1)12(2)0.8log35·log56·log69＝________．解析：log35·log56·log69＝lg5lg3·lg6lg5·lg9lg6＝lg9lg3＝2lg3lg3＝2.答案：2计算下列各式：(1)log53625；(2)log2(32×42)；(3)log535－2log573＋log57－log595；(4)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.对数运算性质的应用【解】(1)原式＝13log5625＝13log554＝43.(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.(4)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．计算下列各式的值：(1)lg5100；(2)log345－log35；(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(4)lg3＋25lg9＋35lg27－lg3lg81－lg27.解：(1)原式＝lg10015＝15lg100＝15×2＝25.(2)原式＝log3455＝log39＝log332＝2.(3)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5－lg2＋2lg2＝lg5＋lg2＝1.(4)原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg34lg3－3lg3＝1＋45＋910－12lg3（4－3）lg3＝115.(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)；(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．换底公式的应用【解】(1)法一：原式＝log253＋log225log24＋log25log28log52＋log54log525＋log58log5125＝3log25＋2log252log22＋log253log22log52＋2log522log55＋3log523log55＝3＋1＋13log25·(3log52)＝13log25·log22log25＝13.法二：原式＝lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125＝3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝13lg53lg23lg2lg5＝13.(2)因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b.法一：log3645＝log1845log1836＝log18（9×5）log181829＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a.法二：因为lg9lg18＝log189＝a，所以lg9＝alg18，同理得lg5＝blg18，所以log3645＝lg45lg36＝lg（9×5）lg1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a＋b2－a.(变问法)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)．解：因为18b＝5，所以log185＝b.所以log915＝log1815log189＝log18（3×5）log189＝log183＋log185a＝log189＋ba＝log18912＋ba＝12log189＋ba＝12a＋ba＝a＋2b2a.应用换底公式的技巧及注意事项(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．1．(2019·洛阳高一检测)已知2x＝3y＝a，若1x＋1y＝2，则a的值为()A．36B．6C．26D.6解析：选D.因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a，所以1x＋1y＝1log2a＋1log3a＝loga2＋loga3＝loga6＝2，所以a2＝6，解得a＝±6.又a0，所以a＝6.2.log89log23＝________．解析：法一：将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即log89log23＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2·lg2lg3＝23.法二：将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即log89log23＝log29log28log23＝2log233log23＝23.答案：23若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．对数运算中的综合问题【解】原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0，设t＝lgx，则原方程可化为2t2－4t＋1＝0.所以t1＋t2＝2，t1t2＝12.由已知a，b是原方程的两个根，则t1＝lga，t2＝lgb，即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝12，所以lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)lgblga＋lgalgb＝（lga＋lgb）[（lgb）2＋（lga）2]lgalgb＝(lga＋lgb)·（lgb＋lga）2－2lgalgblgalgb＝2×22－2×1212＝12.即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的方程时，常借助对数函数的定义等价转化为f(x)＝ab求解．(2)转化法：形如logaf(x)＝logag(x)(a＞0，a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且f（x）＞0，g（x）＞0求解．(3)换元法：适用于f(logax)＝0(a＞0，a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．1．方程log4(3x－1)＝log4(x－1)＋log4(x＋3)的解为________．解析：原方程可化为3x－1＝(x－1)(x＋3)，即x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1，而x＝－1使真数3x－1和x－1小于0，故方程的解是x＝2.故填x＝2.答案：22．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，求xy的值．解：由已知条件得x＋2y0，x－y0，x0，y0，（x＋2y）（x－y）＝2xy，整理得xy，y0，（x－2y）（x＋y）＝0，所以x－2y＝0，所以xy＝2.1．已知m＝lnx，则m＋3＝()A．ln(3x)B．ln(x＋3)C．lnx3D．ln(e3x)解析：选D.m＋3＝lnx＋3＝lnx＋lne3＝ln(e3x)．2．计算log219·log3125·log514＝()A．8B．6C．－8D．－6解析：选C.log219·log3125·log514＝log23－2·log35－2·log52－2＝－8log23·log35·log52＝－8.3．设10a＝2，lg3＝b，则log26＝()A.baB.a＋baC．abD．a＋b解析：选B.由10a＝2，得lg2＝a.因为log26＝lg6lg2＝lg（2×3）lg2＝lg2＋lg3lg2＝a＋ba.4．log48－log193－log4＝________．解析：log48＝log2223＝32，log193＝－12，log24＝log21222＝4，所以原式＝32－－12－4＝－2.答案：－225．计算下列各式的值．(1)3log72－log79＋2log7322；(2)lg2＋lg5－lg8lg50－lg40.解：(1)原式＝log723－log79＋log73222＝log789＋log798＝log789×98＝log71＝0.(2)原式＝lg2×58lg5040＝lg54lg54＝1.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放