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第二课时对数的运算[目标导航]课标要求1.掌握对数的运算性质,并会利用对数运算性质进行化简、求值.2.了解对数的换底公式及其推导,能应用对数换底公式进行化简、求值、证明.3.通过对数运算性质、换底公式,体会转化思想在对数中的作用.素养达成1.通过对数运算性质以及对数的换底公式的推导,培养逻辑推理的核心素养.2.通过对数运算性质以及对数的换底公式在化简、求值中的应用,培养数学运算的核心素养.3.通过利用对数解决相关问题,感知应用数学解决问题的方法,培养数学建模的核心素养.新知导学·素养养成1.对数的运算性质如果a0,且a≠1,M0,N0,那么:(1)loga(M·N)=;logaM+logaN(2)logaMN=;logaM-logaN(3)logaMn=(n∈R).nlogaM思考1:loga(MN)=logaM+logaN是否成立?答案:不一定,当M0且N0时,该式成立,当M0,N0时,该式不成立.2.对数换底公式logab=loglogccba(a0,且a≠1;b0;c0,且c≠1).思考2:你能用对数定义证明对数换底公式吗?答案:设logbN=x,则bx=N.两边取以a为底的对数,得logabx=logaN,得xlogab=logaN,所以x=loglogaaNb,即logbN=loglogaaNb.即换底公式:logbN=loglogaaNb(a0且a≠1,b0且b≠1,N0).名师点津(1)对数运算性质与指数运算性质的联系.式子ab=NlogaN=b名称a——幂的底数b——幂的指数N——幂值a——对数的底数b——以a为底N的对数N——真数运算性质aman=am+nmnaa=am-n(am)n=amnloga(MN)=logaM+logaNlogaMN=logaM-logaNlogaMα=αlogaM(2)由换底公式可得到如下结论:①lognabn=logab;②logmabn=nmlogab;③logab·logba=1;④logab·logbc·logcd=logad.课堂探究·素养提升解:(1)原式=12(5lg2-2lg7)-43×32lg2+12(2lg7+lg5)=52lg2-lg7-2lg2+lg7+12lg5=12lg2+12lg5=12(lg2+lg5)=12lg10=12.题型一对数运算性质的应用[例1]计算下列各式的值.(1)12lg3249-43lg8+lg245;(2)lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2;(3)lg2lg3lg10lg1.8.解:(2)原式=2lg5+2lg2+(lg10-lg2)(lg10+lg2)+(lg2)2=2lg10+1-(lg2)2+(lg2)2=2+1=3.(3)原式=1(lg2lg9lg10)2lg1.8=18lg102lg1.8=lg1.82lg1.8=12.方法技巧(1)本题主要考查对数式的化简与计算.解决这类问题一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.(2)对数计算问题中,涉及lg2,lg5时,常利用lg2+lg5=1及lg2=1-lg5,lg5=1-lg2等解题.解析:(1)原式=2×12log62+3×13log63=log66=1.故选B.即时训练1-1:(1)2log62+3log633等于()(A)0(B)1(C)6(D)log623答案:(1)B解析:(2)原式=3lg23lg5lg2lg51lg10(1)2=2(lg2lg5)12=-4lg10=-4.(2)求值:lg8lg125lg2lg5lg10lg0.1=.答案:(2)-4[备用例1](1)用logax,logay,logaz表示下列各式:①loga(x3y2z);②loga2xyz;③loga2xyz.②loga2xyz=loga(xy)-logaz2=logax+logay-2logaz.解:(1)①loga(x3y2z)=logax3+logay2+logaz=3logax+2logay+logaz.③loga2xyz=logax2-logayz=2logax-12loga(yz)=2logax-12logay-12logaz.(2)计算下列各式的值.①2log32-log3329+log38;②(1-log62)2+log62·log618+lg10.②原式=(log66-log62)2+(log66-log63)(log66+log63)+12lg10=(log63)2+(1-log63)(1+log63)+12=(log63)2+1-(log63)2+12=32.解:(2)①原式=2log32-(log332-log39)+3log32=2log32-5log32+log39+3log32=2.题型二换底公式及其应用[例2]计算下列各式的值:(1)(log83+log43)(log278-log912);解:(1)法一原式=(lg3lg8+lg3lg4)(lg8lg27+lg2lg9)=(3lg3lg2+2lg3lg2)(33lg2lg3+2lg2lg3)=(lg33lg2+lg32lg2)(3lg23lg3+lg22lg3)=5lg36lg2×3lg22lg3=54.法二原式=(32log3+22log3)(33log23+23log2)=(13log23+12log23)·(log32+12log32)=56log23×32log32=54log23×log32=54.(2)57357log2log3log9log2.解:(2)原式=55log2log9×737log3log2=log92×32log3=lg2lg9×3lg3lg2=1lg222lg3×lg31lg23=34.方法技巧(1)在化简或计算求值时,若已知式子中含不同底数,则常利用对数换底公式转化为同底数对数后求解.(2)在使用换底公式时,应注意应用公式logab=1logba和logmabn=nmlogab(a,b均使式子有意义).即时训练2-1:计算:(log2125+log425+log85)·33log2log5.解:法一原式=(log253+22log25log4+22log5log8)×log52=(3log25+222log52log2+22log53log2)×log52=(3+1+13)×log25×log52=133.法二原式=(lg125lg2+lg25lg4+lg5lg8)×log52=(3lg5lg2+2lg52lg2+lg53lg2)×log52=(13lg53lg2)×log52=133×lg5lg2×lg2lg5=133.[备用例2](1)设lg2=a,lg3=b,则log1210等于()(A)12ab(B)12ab(C)2a+b(D)a+2b(1)解析:因为lg2=a,lg3=b,所以log1210=lg10lg12=1lg12=21lg(23)=12lg2lg3=12ab.故选A.(2)解析:法一因为2a=3,所以a=log23=lg3lg2.因为3b=7,所以b=log37=lg7lg3,所以log756=lg56lg7=lg7lg8lg7=lg73lg2lg7=lg3lg33lg3bab=3abab.(2)已知2a=3,3b=7,则log756=.(结果用a,b表示)法二因为2a=3,所以a=log23=31log2,所以log32=1a.又因为b=log37,所以log756=33log56log7=333log7log8log7=33log2bb=3bab=3abab.答案:3abab(3)解:因为log89=a,所以32log32=23log23=a,所以log23=32a,所以lg3=22log3log10=22log31log5=321ab=32(1)ab.(3)已知log89=a,log25=b,用a,b表示lg3.解:(1)法一由3a=4b=36得log336=a,log436=b,所以由换底公式得a=log336=361log3,b=log436=361log4,所以2a+1b=2log363+log364=log3636=1.法二对已知条件的两边取以6为底的对数,得alog63=2blog62=2,所以2a=log63,1b=log62,所以2a+1b=log63+log62=log66=1.题型三含附加条件的对数式求值问题[例3](1)设3a=4b=36,求2a+1b的值;解:(2)令26a=33b=62c=k(k0),则由26a=k得6a=log2k,①由33b=k得3b=log3k,②由62c=k得2c=log6k,③将①②③用换底公式变形为logk2=16a,logk3=13b,logk6=12c.因为logk2+logk3=logk6,所以16a+13b=12c,整理得3ab-2ac-bc=0.(2)26a=33b=62c,求a,b,c之间的关系.一题多变:(1)设3a=4b=t,且2a+1b=1,求t;解:(1)由3a=4b=t知a=log3t,b=log4t,则1a=logt3,1b=logt4,因为2a+1b=2logt3+logt4=logt9+logt4=logt36=1,所以t=36.解:(2)令xa=yb=zc=t(t0,且t≠1),则a=logxt,b=logyt,c=logzt,而1a+1b=1c,所以logtx+logty=logtz,所以logt(xy)=logtz,即z=xy.(2)设xa=yb=zc(x0,y0,z0,且x,y,z均不为1).若1a+1b=1c,求x,y,z之间的关系式.方法技巧(1)涉及指数式中的指数问题,可利用指对数式的互化,将指数式化为对数式后求指数.(2)涉及多个幂式相等问题,常将幂式值设出,转化为对数后求解.[备用例3](1)已知2x=3y=5z,且1x+1y+1z=1,求x,y,z;解:(1)令2x=3y=5z=k(k0),由2x=k得x=log2k,同理y=log3k,z=log5k.由1x+1y+1z=1得21logk+31logk+51logk=1.由换底公式得logk2+logk3+logk5=1,所以logk30=1,所以k=30,所以x=log230=1+log215,y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.解:(2)因为logax=2,logbx=3,logcx=6,所以x=a2,x=b3,x=c6,所以a=12x,b=13x,c=16x,所以abc=111236x=x,所以logabcx=logxx=1.(2)已知logax=2,logbx=3,logcx=6,求logabcx.题型四易错辨析[例4]解方程lgx4-lgx2=2.错解:因为lgx4-lgx2=2,所以4lgx-2lgx=2,所以lgx=1,所以x=10.纠错:已知方程中x的取值范围是x∈R且x≠0,而变形后的x范围是x0,缩小了x的范围,从而失根.正解:原方程等价于lg42xx=2,即lgx2=2,则x2=100,即x=±10,因此原方程的解是x=10或x=-10.学霸经验分享区(1)对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.(2)利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数,即可用对数的运算性质来解决对数求值问题,同时要注意换底公式的逆用和变形用.(3)求解对数方程时,要注意等价变形,不要扩大或缩小x的范围.如解方程log5(2x+1)=log5(x2-2),则变形为2x+1=x2-2后要保证2x+10,x2-20,因此由x2-2=2x+1得x=3或x=-1后应舍去