2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.1 对数与对数的运算 第2课时

2.2对数函数2.2.1对数与对数的运算第2课时对数的运算目标定位重点难点1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数.重点：对数的运算性质及换底公式.难度：应用运算性质进行对数的各类运算.1.对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)loga(M·N)＝______________；(2)logaMN＝________________；(3)logaMn＝____________，(n∈R).2.换底公式logab＝________(a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b0).logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaMlogcblogca1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)logax·logay＝loga(x＋y).()(2)logax－logay＝logaxy.()(3)loga(xy)＝logax·logay.()【答案】(1)×(2)√(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)log381＝________.(2)若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75＝________.【答案】(1)4(2)ab3.思一思：若M，N同号，则等式loga(M·N)＝logaM＋logaN成立吗？【解析】不一定.当M0，N0时成立；当M0，N0时不成立.对数的运算性质【例1】计算下列各式的值.(1)log2748＋log212－12log242；(2)12lg3249－43lg8＋lg245.【解题探究】由题目可知(1)式中是以2为底的对数，(2)式中都是常用对数，同时两式中含有根号以及对数的加减运算.可利用对数运算性质进行计算.【解析】(1)原式＝log27×1248×42＝log212＝－12.(2)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.【方法规律】解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质.常用方法有(1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积，再展开.(2)将同底数的对数的和、差、倍合并.(3)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.1.计算下列各式的值：(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2)lg3＋25lg9＋35lg27－lg3lg81－lg27.【解析】(1)原式＝(lg5)2＋lg2(2－lg2)＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg34lg3－3lg3＝1＋45＋910－12lg34－3lg3＝115.【例2】已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.【解题探究】解答本题可借助对数的运算性质及对数的换底公式等，建立所求结果与已知条件之间的关系.换底公式【解析】方法一：由18b＝5，得log185＝b，又log189＝a，所以log3645＝log1845log1836＝log189×5log1818×2×99＝log189＋log185log18182－log189＝a＋b2－a.方法二：a＝log189＝lg9lg18＝2lg3lg2＋2lg3，所以lg2＝21－alg3a.①又18b＝5，则b＝log185＝lg5lg18＝lg5lg2＋2lg3，所以lg5＝2balg3.②log3645＝lg45lg36＝lg9＋lg52lg2＋2lg3＝2lg3＋lg52lg2＋2lg3，将①②两式代入上式并化简整理，得log3645＝a＋b2－a.方法三：设log3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9，从而有182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，得2x＝log185＋(x＋1)log189，又18b＝5，所以b＝log185.所以2x＝b＋(x＋1)a，解得x＝a＋b2－a，即log3645＝a＋b2－a.【方法规律】换底公式的应用技巧(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.2.(1)log29·log34等于()A．14B．12C．2D．4(2)log2125·log318·log519＝________.【答案】(1)D(2)－12【解析】(1)log29·lg34＝(log232)·(log322)＝(2log23)·(2log32)＝4log23·log32＝4.(2)原式＝lg125lg2·lg18lg3·lg19lg5＝－2lg5·－3lg2·－2lg3lg2·lg3·lg5＝－12.对数的综合应用【例3】已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.(1)求p；(2)求证：1z－1x＝12y.【解题探究】3x＝4y＝6z＝k可反解出x，y，z，依据指数式与对数式的互化公式，将反解出的x，y代入2x＝py即可求出p.同理将x，y，z用k表示代入(2)式左右两边即证.【解析】(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k0且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·log3klog34.∵log3k≠0，∴p＝2log34＝4log32.(2)∵1z－1x＝1log6k－1log3k＝logk6－logk3＝logk2，12y＝12log4k＝12logk4＝logk2，∴1z－1x＝12y.【方法规律】对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式对对数式化简，此题巧妙引入辅助量k，顺利完成指数与对数的转化是解题的关键.3.已知2m＝3n＝36，求1m＋1n的值.【解析】由已知，得m＝log236，n＝log336，∴1m＋1n＝1log236＋1log336＝12log26＋12log36＝12(log62＋log63)＝12log66＝12.将对数形式化为代数形式忽略范围致误【示例】已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求log2xy的值.【错解】∵lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.∴(x－y)(x－4y)＝0.∴x＝y或x＝4y，即xy＝1或xy＝4.∴log2xy＝0或log2xy＝4.【错因】忽略了对数的真数必须大于0这一前提，因而出现了0和4这两个结果.【正解】由已知，得xy＝(x－2y)2，即(x－y)(x－4y)＝0，得x＝y或x＝4y.∵x0，y0，x－2y0，∴x2y0.∴x＝y应舍去.∴x＝4y，即xy＝4.∴log2xy＝log24＝4.【警示】根据指数式与对数式的互化可知，真数实际上是指数式中的指数幂，故为正数.所以在求解含有对数式的问题时，一定要注意真数的取值范围，保证真数大于零.求解过程不等价时，在求出答案后需进一步进行检验.1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3)在运算过程中避免出现以下错误：①logaNn＝(logaN)n；②loga(MN)＝logaM·logaN；③logaM±logaN＝loga(M±N).1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)()A．logax·logay＝loga(x＋y)B．(logax)n＝nlogaxC．logaxn＝loganxD．logaxlogay＝logax－logay【答案】C【解析】根据对数的运算性质知，C正确.2.计算log225·log322·log59的结果为()A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.3．已知lg2＝a，lg3＝b，则用a，b表示lg15为()A．b－a＋1B．b(a－1)C．b－a－1D．b(1－a)【答案】A【解析】lg15＝lg(3×5)＝lg3＋lg5＝lg3＋lg102＝lg3＋1－lg2＝b－a＋1.4.log29log23＝________.【答案】2【解析】log29log23＝log39＝log332＝2.5．若log513·log36·log6x＝2，则x的值为________．【答案】125【解析】由换底公式，得－lg3lg5·lg6lg3·lgxlg6＝2，lgx＝－2lg5，x＝5－2＝125.