2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.2.1 指数函数的概念、图象及性

第二章基本初等函数(Ⅰ)2．1指数函数2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的概念、图象及性质[目标]1.能说出指数函数的定义；2.记住指数函数的图象与性质；3.会用指数函数的图象与性质解答有关问题．[重点]指数函数的概念、图象、性质．[难点]指数函数性质的概括总结.课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点一指数函数的概念[填一填]一般地，函数(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.y＝axR[答一答]1．下列函数是指数函数吗？①y＝3x＋1；②y＝3x＋1；③y＝3×2x；④y＝5x＋2－2.提示：它们都不满足指数函数的定义，所以都不是指数函数．2．指数函数定义中为什么规定a0且a≠1?提示：①如果a＝0，当x0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．②如果a0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝12，14，…，在实数范围内的函数值不存在．③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，无研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a0且a≠1.知识点二指数函数的图象和性质[填一填][答一答]3．观察同一直角坐标系中函数y＝2x，y＝3x，y＝4x，y＝(12)x，y＝(13)x，y＝(14)x的图象如图所示，能得到什么规律？提示：(1)当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．(2)当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．(3)底互为倒数时，图象关于y轴对称，即y＝ax与y＝(1a)x图象关于y轴对称．4．怎样快速画出指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象？提示：由指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，(－1，1a)，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象．类型一指数函数的概念[例1](1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()A．y＝(－4)xB．y＝πxC．y＝－4xD．y＝ax＋2(a0，a≠1)(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或2B．a＝1C．a＝2D．a0且a≠1BC(3)已知函数f(x)为指数函数，且f－32＝39，则f(－2)＝________.[分析](1)(2)利用指数函数的定义；(3)设f(x)＝ax，采用待定系数法．19[解析](1)由指数函数的定义可知，只有B符合定义．(2)由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，∴a2－3a＋3＝1，a0且a≠1.∴a＝2.选C.(3)设f(x)＝ax(a0且a≠1)，∴a＝3，∴f(x)＝3x，∴f(－2)＝3－2＝19，故填19.[变式训练1](1)已知指数函数图象经过点P(－1,3)，则f(3)＝127.(2)已知函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x为指数函数，则a＝.1解析：(1)设指数函数为f(x)＝ax(a0且a≠1)，由题意得a－1＝3，解得a＝13，所以f(x)＝13x，故f(3)＝133＝127.(2)函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，∴a2－2a＋2＝1，a＋10，a＋1≠1，解得a＝1.类型二指数函数的图象命题视角1：指数函数的底与其图象的关系[例2]如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dcB[解析]由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1dc，ba1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为ba1dc.设ab1cd0，则y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大，或者说在第一象限内，指数函数的图象，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴．[变式训练2]已知1nm0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()C解析：由于0mn1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.命题视角2：指数函数过定点问题[例3]函数y＝a2x＋1＋2(a0且a≠1)的图象必过定点________．[解析]根据指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象恒过定点(0,1)，不论a取什么值，总有a0＝1，∴当2x＋1＝0，即x＝－12时，y＝3.∴函数的图象必过定点－12，3.－12，3[变式训练3](1)函数y＝a3x－1－3(a0且a≠1)的图象必过定点.(2)函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a1)的图象恒过点(1,10)，则m＝.13，－29解析：(1)令3x－1＝0，即x＝13时，y＝－2，所以函数y＝a3x－1－3(a0且a≠1)过定点13，－2.(2)由题意f(1)＝10，即a0＋m＝10，∴m＝9.命题视角3：指数函数的图象变换[例4]已知函数y＝13|x＋1|.(1)试利用指数函数的图象作出该函数的图象；(2)由图象指出该函数的单调区间；(3)由图象指出当x取何值时，函数有最值．[解](1)y＝13|x＋1|＝13x＋1，x≥－1，3x＋1，x－1.其图象如图所示．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．(3)由图象知当x＝－1时，函数有最大值1，无最小值．与指数函数有关的函数的图象，一般是根据其解析式的结构特征，利用函数图象的平移、对称或翻折变换得到，然后利用图象直观地研究其性质.[变式训练4]函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象可能是()D解析：当a1时，y＝ax－1a为增函数，函数y＝ax－1a的图象可由y＝ax的图象向下平移1a∈(0,1)个单位得到，A、B均不符合要求；当0a1时，y＝ax－1a为减函数，函数y＝ax－1a的图象可由y＝ax的图象向下平移1a1个单位得到，C不符合，D符合，所以选D.类型三指数函数的定义域与值域[例5]求下列函数的定义域和值域：[解](1)由1－2x≥0得2x≤1，∴x≤0，∴y＝1－2x的定义域为(－∞，0]．由02x≤1得－1≤－2x0，∴0≤1－2x1.∴y＝1－2x的值域为[0,1)．1.函数y＝afx的定义域与函数fx的定义域相同，值域要先确定fx的值域，再根据y＝ax的单调性确定y＝afx的值域.2.求函数y＝fax的定义域，需先确定y＝fu的定义域，即u＝ax的值域，由此确定x满足的不等式组，再利用单调性求x的范围；求函数y＝fax的值域，需先利用单调性求u＝ax的值域，即u的取值范围，再确定函数y＝fu的值域，即函数y＝fax的值域.[变式训练5](1)已知函数y＝ax－1的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为；(2)函数f(x)＝(13)x－1，x∈[－1,2]的值域为．0a1[－89，2]解析：(1)由ax－1≥0，得ax≥1＝a0，因为x∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0a1.(2)函数y＝(13)x在区间[－1,2]上是减函数，所以(13)2≤(13)x≤(13)－1，即19≤(13)x≤3.于是19－1≤f(x)≤3－1，即－89≤f(x)≤2.1．给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：由指数函数的定义可知只有③是指数函数．B2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则()A．a0，b0B．a0，b0C．0a1，b1D．0a1,0b1解析：结合指数函数的图象知b1,0a1.C3．函数f(x)＝3x－3(1x≤5)的值域是()A．(0，＋∞)B．(0,9)C.19，9D.13，27解析：由1x≤5得－2x－3≤2，则3－23x－3≤32，即19f(x)≤9.故选C.C4．函数y＝3x－4＋b的图象恒过定点(4,6)，则b＝.解析：∵当x＝4时y＝6，即34－4＋b＝6，化简，得30＋b＝6，b＝5.55．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点2，12，其中a0且a≠1.(1)求a的值．(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．解：(1)函数图象经过点2，12，所以a2－1＝12，则a＝12.(2)由(1)知函数f(x)＝12x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是012x－1≤12－1＝2，所以函数的值域为(0,2]．——本课须掌握的三大问题1．指数函数中，底数是一个常量，自变量出现在指数位置上．显然y＝xa不是指数函数，这一点要特别注意．2．指数函数中，系数一定为1，指数一定为x.例如，y＝3·2x不是指数函数，y＝2x＋1也不是指数函数．3．当0a1时，x→＋∞，y→0；当a1时，x→－∞，y→0.(其中“x→＋∞”的意义是“x接近于正无穷大”)