2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.2.1 指数函数的定义与简单性质

2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的定义与简单性质第二章基本初等函数(Ⅰ)课前自主预习1．指数函数的定义□1函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2．指数函数的图象和性质1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(2)当a1时，对于任意x∈R总有ax1.()(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．()√××2．做一做(1)若f(x)＝(a2－3)ax是指数函数，则a＝________.(2)若函数f(x)＝ax(a0且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝________.(3)(教材改编P58T2)函数y＝21－3x的定义域为____________，值域为________．23x(－∞，0][1,2)课堂互动探究『释疑解难』1．(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”；当a1时，指数函数的图象“上升”；当0a1时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a1，还是0a1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．当ab1时，①若x0，则axbx1；②若x0，则1bxax0.当1ab0时，①若x0，则1axbx0；②若x0，则bxax1.2．当底数a大小不确定时，必须分a1和0a1两种情况讨论函数的图象和性质．3．指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x轴上方．4．由指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，－1，1a，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象．5．当a1时，x→－∞，y→0；当0a1时，x→＋∞，y→0.(其中“x→＋∞”的意义是“x趋近于正无穷大”)探究1指数函数的概念例1(1)①若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，则f(－2)＝________，f(1)＝________；②若函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.1930或1(2)下列函数中，哪些是指数函数？①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝(2a－1)xa12，且a≠1；⑤y＝2·3x.答案(2)见解析解析(1)①设f(x)＝ax(a0，且a≠1)，∵f(x)的图象过点(2,9)，∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.∴f(－2)＝3－2＝19，f(1)＝3.②∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.(2)④为指数函数．①中底数－80，∴不是指数函数．②中指数不是自变量x，而是x的函数，∴不是指数函数．③中底数a，只有规定a0，且a≠1时，才是指数函数．⑤中3x前的系数是2，而不是1，∴不是指数函数．拓展提升(1)判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合y＝ax(a0，且a≠1)这一结构形式，其具备的特点为：(2)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．【跟踪训练1】已知指数函数y＝ax＋(a－2)(a－3)的图象过点(2,4)，求a的值．解由指数函数的定义，可知(a－2)(a－3)＝0，解得a＝2或a＝3.当a＝2时，指数函数y＝2x的图象过点(2,4)，符合题意；当a＝3时，指数函数y＝3x的图象不过点(2,4)，应舍去．综上，a＝2.探究2指数函数的图象问题例2(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc(2)函数y＝ax－3＋3(a0，且a≠1)的图象过定点________．(3,4)解析(1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1dc，ba1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为ba1dc.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．(2)解法一：因为指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．解法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．拓展提升1.识别指数函数图象问题的注意点(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a1或0a1；(2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置．2．解决指数型函数图象过定点问题的思路指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．【跟踪训练2】(1)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝bax的图象可能是()(2)函数y＝a2x＋1＋1(a0，且a≠1)的图象过定点___________．－12，2解析(1)二次函数y＝ax＋b2a2－b24a，其图象的顶点坐标为－b2a，－b24a，由指数函数的图象知0ba1，所以－12－b2a0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．(2)令2x＋1＝0得x＝－12，y＝2，所以恒过－12，2.探究3与指数函数有关的定义域和值域问题例3求下列函数的定义域和值域：解(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0.故函数y＝1－3x的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以03x≤1，所以0≤1－3x1.所以1－3x∈[0,1)，即函数y＝1－3x的值域为[0,1)．拓展提升求指数型函数的定义域和值域的一般方法(1)求指数型函数的定义域时，先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型．①由于指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同．②对于函数y＝f(ax)(a0，且a≠1)的定义域，关键是找出t＝ax的值域的哪些部分在y＝f(t)的定义域中．③求y＝fax型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，还需注意：在求形如y＝af(x)(a0，且a≠1)的函数值域时，先求得f(x)的值域(即函数t＝f(x)中t的范围)，再根据y＝at的单调性，列出指数不等式(组)，得出at的范围，即y＝af(x)的值域．【跟踪训练3】求下列函数的定义域和值域：解(1)由x－1≠0得x≠1，所以函数的定义域为{x|x≠1}．由1x－1≠0得y≠1，所以函数的值域为{y|y0且y≠1}．(2)由5x－1≥0得x≥15，所以函数的定义域为xx≥15.由5x－1≥0，得y≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．1.理解指数函数的定义需注意的几个问题(1)因为a0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R，且ax0，所以函数的值域是(0，＋∞).(2)规定底数a0且a≠1，因为当a＝1时ax恒等于1，研究它没有意义.2.指数函数的图象及性质指数函数的图象在x轴上方，由于a0＝1(a≠0)，所以y＝ax(a0且a≠1)，当x＝0时，y总等于1，即指数函数的图象恒过定点(0,1).指数函数y＝ax(a0且a≠1)的性质分底数a1，0a1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.随堂达标自测1．下列各函数中是指数函数的是()A．y＝(－3)xB．y＝－3xC．y＝3x－1D．y＝12x解析根据指数函数的定义，y＝ax(a0且a≠1)，可知只有D项正确，故选D.2．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a0，且a≠1解析由题意得a2－3a＋3＝1，a0，且a≠1，解得a＝2.3．若函数y＝ax－1的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为()A．a0B．a1C．0a1D．a≠1解析由ax－1≥0，得ax≥a0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0a1.4．已知1nm0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()解析由于0mn1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B两项，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.5．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点2，12，其中a0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．解(1)因为函数图象过点2，12，所以a2－1＝12，则a＝12.(2)由(1)得f(x)＝12x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1，于是012x－1≤12－1＝2.所以所求函数的值域为(0,2]．