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2.1.2指数函数及其性质第一课时指数函数的图象及性质[目标导航]课标要求1.理解指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.2.能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.素养达成1.通过指数函数概念的理解,培养数学抽象的核心素养.2.通过根据指数函数的图象研究指数函数的性质培养逻辑推理的核心素养.新知导学·素养养成1.指数函数的定义y=ax(a0,且a≠1)函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.(2)如果a0,例如f(x)=(-4)x,这时对于x=12,14,…,该函数无意义.思考1:指数函数中为什么规定a0,且a≠1?答案:(1)如果a=0,当x0时,ax恒等于0,没有研究的必要;当x≤0时,ax无意义.(3)如果a=1,则y=1x是一个常量,没有研究的价值.为了避免上述各种情况,所以规定a0,且a≠1.2.指数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域R值域(0,+∞)关键点过定点,即x=0时,y=1函数值的变化当x0时,;当x0时,_______当x0时,;当x0时,_____单调性是R上的________是上的______奇偶性非奇非偶函数对称性函数y=a-x与y=ax的图象关于y轴对称y1(0,1)0y10y1y1增函数减函数R思考2:指数函数图象不可能出现在第几象限?答案:指数函数图象只出现在第一、二象限,不可能出现在第三、四象限.名师点津底数变化对指数函数图象形状的影响(1)前提:指数函数y=xma(m=1,2,3,4)的图象如图所示,且图象与直线x=1相交于点(1,a).(2)结论:①在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;②在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,如图中的底数的大小关系为0a4a31a2a1.课堂探究·素养提升题型一指数函数的概念[例1]下列函数中:①y=3x-1;②y=xx;③y=5×2x;④y=2x-1;⑤y=5x,一定为指数函数的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3解析:形如y=ax(a0,a≠1)的函数为指数函数,①y=3x-1的3x系数不为1,不是指数函数,②y=xx的底数不是a,不是指数函数,③y=5×2x的系数不是1,不是指数函数,④y=2x-1不符合指数函数定义,⑤y=5x是指数函数,故选B.方法技巧只有形如y=ax(a0,且a≠1)的函数才是指数函数.其特征是:(1)底数a0,且为不等于1的常数,也不含有自变量x;(2)指数位置是自变量x,且x的系数是1;(3)ax的系数是1.即时训练1-1:(1)若指数函数y=f(x)的图象经过点(-2,116),则f(-32)=.解析:(1)设f(x)=ax(a0且a≠1),因为y=f(x)的图象过点(-2,116),所以116=a-2,所以a=4.所以f(x)=4x,所以f(-32)=432=18.答案:(1)18解析:(2)因为f(x)=(a2-5a-5)ax是指数函数,所以2551,01.aaaa且所以a=6.(2)若f(x)=(a2-5a-5)ax是指数函数,则a=.答案:(2)6[备用例1](1)下列函数中是指数函数的是(填序号).①y=2·(2)x;②y=2x-1;③y=(π2)x;④y=31x;⑤y=13x.解析:(1)①中指数式(2)x的系数不为1,故不是指数函数;②中y=2x-1=12·2x,指数式2x的系数不为1,故不是指数函数;④中指数不是x,故不是指数函数;⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值,故不是指数函数,故填③.答案:(1)③解析:(2)由y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,可得2331,01,aaaa且解得a=2.(2)若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则实数a=.答案:(2)2解析:(3)由题意知230,231,aa解得a32且a≠2.(3)函数y=(2a-3)x是指数函数,则实数a的取值范围是.答案:(3)(32,2)∪(2,+∞)题型二指数函数的图象特征[例2](1)函数f(x)=ax与g(x)=-x+a的图象大致是()解析:(1)当a1时,函数f(x)=ax单调递增,当x=0时,g(0)=a1,此时两函数的图象大致为选项A.故选A.(2)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()(A)a1,b0(B)a1,b0(C)0a1,b0(D)0a1,b0解析:(2)由函数图象知函数是减函数,因此0a1,又当x=0时,f(0)=a-b1知a-ba0,即-b0,则b0.故选D.方法技巧(1)指数函数y=ax(a0且a≠1),当a1时,函数单调递增,当0a1时,函数单调递减.(2)涉及与指数函数图象有关的求参数的取值范围问题,一般根据指数函数的图象判断单调性及所过的定点,进而确定参数的取值范围.解析:y=3-|x|=3,0,3,0,xxxx且函数y=3-|x|是偶函数,所以函数的大致图象是选项C中的图象.故选C.即时训练2-1:函数y=3-|x|的大致图象是()解析:(1)y=(12)x-1的图象即为将y=(12)x的图象向下平移1个单位得到的,由指数函数y=(12)x为减函数且过定点(0,1)的特点可知y=(12)x-1的图象大致是图象B.故选B.[备用例2](1)y=(12)x-1的图象大致是()答案:(1)B解析:(2)作出y=|2x-1|的图象,如图,要使直线y=a与图象的交点只有一个,所以a≥1或a=0,(2)方程|2x-1|=a有唯一实数解,则a的取值范围是.答案:(2)[1,+∞)∪{0}题型三与指数函数有关的定义域、值域问题[例3](12分)求下列函数的定义域和值域.(1)y=214x;规范解答:(1)由x-4≠0,得x≠4.所以函数的定义域为{x|x∈R且x≠4}.……1分因为x-4≠0,所以214x≠1.所以y=214x的值域为{y|y0且y≠1}.……3分(2)y=4x-4·2x+1;规范解答:(2)函数的定义域为R.……4分记t=2x0,则y=t2-4t+1=(t-2)2-3.当t=2,即2x=2,即x=1时,y取得最小值-3.所以函数的值域为[-3,+∞).……6分规范解答:(3)由4-2x≥0得2x≤4,即2x≤22,则x≤2,所以函数的定义域为{x|x≤2}.……7分因为2x0,所以-2x0.所以0≤4-2x4.所以0≤42x2.所以函数的值域为[0,2).…………9分(3)y=42x;规范解答:(4)函数y=(12)222xx的定义域为R.……10分又因为x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,所以0(12)222xx≤(12)1,所以函数y=(12)222xx的值域是(0,12).…………12分(4)y=(12)222xx.方法技巧函数y=af(x)的定义域与值域的求法(1)形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.(2)形如y=af(x)的值域,应先求出f(x)的值域,再由函数的单调性求出af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.(3)形如y=f(ax)的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)确定出y=f(ax)的值域.解:(1)令t=x+1,则x∈[-3,2]时t∈[-2,3].故2-2≤2t≤23,即y∈[14,8].即时训练3-1:求下列函数的值域(1)y=2x+1,x∈[-3,2];(2)y=221x;(2)因为21x≥0,所以221x≥1,所以y∈[1,+∞).(3)y=(12)22x;(4)y=3+2x,x∈[-2,1].解:(3)因为-x2+2≤2,所以(12)22x≥(12)2=14.所以y∈[14,+∞).(4)因为x∈[-2,1],所以2-2≤2x≤21.即14≤2x≤2.所以134≤3+2x≤5,即y∈[134,5].解:因为f(x)=3+2·3x+1-9x=-(3x)2+6·3x+3.所以令t=3x,则由x∈[-1,2]知13≤t≤9.所以y=-t2+6t+3=-(t-3)2+12.所以t=3,即x=1时,y有最大值12,t=9,即x=2时,y有最小值-24.所以函数的值域为[-24,12].[备用例3]若x∈[-1,2],求f(x)=3+2·3x+1-9x的值域.③由于函数y=ax的图象过定点(0,1),(1,a),(-1,1a),因此画y=ax的图象可利用这3个点快速画出.学霸经验分享区(1)指数或指数型函数的图象特征:①底数a1时,不论y=ax还是y=ax+b,函数均为增函数,图象是“上升”的,当0a1时,函数图象是下降的.②指数函数y=ax(a0且a≠1)图象过定点(0,1),y=k·ax+b+c过定点(-b,k+c).(2)函数y=ax±h,y=ax±k与y=ax(a0,且a≠1,k0,h0)的图象形状及关系①函数y=ax+h,y=ax-h(h0)的图象与y=ax的形状相同,其关系为y=ax+h的图象y=ax的图象y=ax-h的图象.②y=ax±k(k0)的图象形状与y=ax的图象形状相同,其关系为y=ax+ky=ax的图象y=ax-k的图象.1.若函数f(x)是指数函数,且f(2)=2,则f(x)等于()(A)(2)x(B)2x(C)(12)x(D)(22)x课堂达标A解析:由题意,设f(x)=ax(a0且a≠1),则由f(2)=a2=2,知a=2,所以f(x)=(2)x.2.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则()(A)a0,b0(B)a0,b0(C)0a1,b1(D)0a1,0b1C3.指数函数y=(1-5a)x在R上是减函数,则a的取值范围是()(A)(15,+∞)(B)(-∞,0)(C)(0,15)(D)(-∞,15)C解析:由01-5a1知-15a-10,即0a15.4.函数y=(12)x和y=(12)-x的图象关于对称.答案:y轴5.函数y=2x(x≥0)的值域是.解析:因为x≥0,所以2x≥1,所以y≥1.答案:{y|y≥1}