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2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算第一课时根式[目标导航]课标要求1.了解根式的概念,方根的概念及两者的关系.2.能够正确运用根式的运算性质进行化简、求值.素养达成1.通过根式的概念的学习,培养数学抽象的核心素养.2.通过根式概念与方根概念两者之间的关系的理解,培养逻辑推理的核心素养.3.通过运用根式性质进行计算和化简,培养数学运算的核心素养.新知导学·素养养成1.根式及相关概念xn=a(1)a的n次方根定义如果,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性(n1,且n∈N*)a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数Rn为偶数±[0,+∞)nana(3)根式式子na叫做根式,这里n叫做,a叫做.根指数被开方数2.根式的性质当n1时,且n∈N*时,(1)0n=;0(2)(na)n=a(n为奇数时,a∈R;n为偶数时,a≥0)(3)nna=,()()nn为奇数为偶数a｜a︱课堂探究·素养提升题型一根式的概念[例1](1)已知m10=2,则m等于()(A)102(B)-102(C)102(D)±102解析:(1)因为m10=2,所以m是2的10次方根,又因为10是偶数,所以2的10次方根有两个,且互为相反数,所以m=±102.答案:(1)D(2)16的平方根为,-27的5次方根为;解析:(2)因为(±4)2=16,所以16的平方根为±4.-27的5次方根为527.答案:(2)±4527(3)若65x有意义,则实数x的取值范围是.解析:(3)要使65x有意义,则x+5≥0,即x≥-5,所以实数x的取值范围是[-5,+∞).答案:(3)[-5,+∞)误区警示根式概念问题应关注的两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;(2)n为奇数时,a的正负决定着n次方根的符号.答案:(1)A即时训练1-1:(1)已知a∈R,n∈N*,给出下列4个式子:①26(3)n;②52a;③216(5)n;④92a,其中无意义的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)0个解析:(1)①中(-3)2n0,所以26(3)n有意义,②中根指数为5有意义,③中(-5)2n+10,因此无意义,④中根指数为9,有意义.选A.(2)若满足xn=2019的x值有2个,则n的可能取值为(填序号).①n=0;②n=2;③n=2019;④n=2018.解析:(2)由于xn=2019中x值有2个,则n为偶数,且n≠0,故②④正确.答案:(2)②④[备用例1]函数f(x)=44x+35x的定义域为.解析:要使函数有意义,则x-4≥0,即x≥4.答案:[4,+∞)题型二根式性质的应用[例2]化简下列各式:(1)55(2)+(52)5;解:(1)原式=(-2)+(-2)=-4.(2)66(2)+(62)6;解:(2)原式=|-2|+2=2+2=4.(3)44(2)x;(4)77(2)x+(7(2)x)7.解:(3)原式=|x+2|=2,2,2,2.xxxx(4)原式=(x-2)+(x-2)=2x-4.误区警示本题易出现的问题是混淆nna与(na)n,尤其是当n为偶数时,误认为nna=a而失误.解决此类问题的关键是准确记忆相关性质,依据n为奇数还是偶数以及a的取值进行分类.解析:(1)33(2)=(3(2))3=-2,(32)3=(42)4=44(2)=442=2,因此结果为2的有4个.故选B.即时训练2-1:(1)下列所给各式中33(2),(32)3,(32)3,(42)4,44(2),442.其结果为2的有()(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个答案:(1)B解析:(2)因为44(1)a=|a+1|,(31a)3=a+1,所以|a+1|=-(a+1),所以a+1≤0,即a≤-1.(2)已知44(1)a=-(31a)3,则实数a的取值范围是.答案:(2)(-∞,-1]解析:因为(1x)2=x-1且x≥1.又2441xx=2(21)x=|2x-1|=2x-1,所以原式=(2x-1)-(x-1)=x.[备用例2]化简:2441xx-(1x)2=.答案:x题型三条件根式的化简[例3](12分)设-5x5,求21025xx+244xx的值.规范解答:原式=2(5)x+2(2)x=|x+5|+|x-2|,………………4分当-5x2时,原式=x+5+[-(x-2)]=7,……7分当2≤x5时,原式=x+5+x-2=2x+3,…………10分所以原式=752,23,25.xxx，-……12分解:(1)因为原式=|x+5|+|x-2|,当-7x-5时,原式=-(x+5)+[-(x-2)]=-2x-3,当-5≤x2时,原式=7.当x≥2时,原式=2x+3,综上可知,原式=23,75,7,52,23,2.xxxxx一题多变:(1)本题中若改为x-7,其他条件不变,求原式的值;解:(2)因为21025xx+244xx=|x+5|+|x-2|=2x+3=(x+5)+(x-2),所以50,20,xx所以x≥2.(2)若本题中改为:若21025xx+244xx=2x+3,求x的取值范围.误区警示求解本题为使开偶次方后不出现符号错误,第一步先用绝对值表示开方的结果,第二步再去掉绝对值符号,化简时要结合条件进行分类讨论.解析:(1)269xx+2816yy=2(3)x+2(4)y=|x-3|+|y+4|=0,所以x-3=0且y+4=0,解得x=3,y=-4.故x+y=-1.[备用例3](1)已知269xx+2816yy=0,则x+y=.答案:(1)-1(2)若x≥2019,则44(2019)x+55(2019)x=.解析:(2)因为x≥2019,所以2019-x≤0,所以原式=|2019-x|+(2019-x)=x-2019+2019-x=0.答案:(2)01.下列说法:(1)481的运算结果是±3;(2)16的4次方根是2;(3)当n为大于1的偶数时,na只有当a≥0时才有意义;(4)当n为大于1的奇数时,na对任意a∈R有意义.其中正确的个数为()(A)4(B)3(C)2(D)1课堂达标解析:对于(1),因为开偶次方的结果只能是正数,故(1)错;对于(2),偶次方根的结果有正有负,故(2)错误;(3)(4)正确,正确的个数为2.故选C.C解析:原式=2-π+|3-π|=2-π+π-3=-1.故选B.2.计算33(2π)+2(3π)的值为()(A)5(B)-1(C)2π-5(D)5-2πB3.a是实数,则下列式子中可能没有意义的是()(A)24a(B)5a(C)5a(D)6a解析:当a0时,6a无意义.故选D.D4.下列各式正确的是()(A)2(3)=-3(B)44a=a(C)22=2(D)33(2)=2解析:2(3)=3,44a=|a|,33(2)=-2,22=2.故选C.C5.若244xx=2-x,则x的取值范围是.解析:因为244xx=2(2)x=|x-2|=2-x,所以x-2≤0,所以x≤2.答案:{x|x≤2}