2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.1 指数与指数幂的运算 第1课时

2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算第1课时根式目标定位重点难点1.理解n次方根的定义及性质.2.能利用根式的性质对根式进行化简求值.重点：利用根式的性质对根式进行化简.难点：复杂根式的化简求值问题.1.根式及相关概念(1)a的n次方根定义：如果________，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.xn＝a(2)a的n次方根的表示：n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数naRn为偶数±na[0，＋∞)(3)根式：式子na叫做根式，这里n叫做______，a叫做________.根指数被开方数2.根式的性质(1)(na)n＝____(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n1).(2)n1时，当n为奇数，nan＝________；当n为偶数，nan＝，a≥0，，a＜0.(3)n0＝______.(4)负数没有______方根.aaa－a0偶次1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为42＝16，所以16的平方根是4.()(2)当n∈N*时，(n－16)n都有意义.()(3)3－π2＝π－3.()【答案】(1)×(2)×(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)27的3次方根为________.(2)若x3＝5，则x＝________.(3)若n为偶数时，nx－1n＝x－1，则x的取值范围为________.【答案】(1)3(2)35(3)[1，＋∞)3.思一思：求值与化简中常用到nan与nan，那么它们的含义是什么？【解析】(1)nan表示实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n是奇数还是偶数的限制，a∈R.(2)(na)n表示实数a的n次方根的n次幂，其中a的取值范围由n是奇数还是偶数来定.【例1】用根式表示下列各式中的x：(1)已知x6＝2019，则x＝________.(2)已知x5＝－2019，则x＝________.【解题探究】解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求.n次方根的概念问题【答案】(1)±62016(2)－52016【解析】(1)由于6为偶数，所以x＝±62016.(2)由于5为奇数，所以x＝5－2016＝－52016.【方法规律】判断关于n次方根的结论应关注两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.1.(1)下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义.其中说法正确的序号为________.(2)若31a－3有意义，则实数a的取值范围是______.【答案】(1)③④(2){a|a≠3}【解析】(1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.(2)要使31a－3有意义，则a－3≠0，即a≠3.∴a的取值范围是{a|a≠3}.利用根式的性质化简求值【例2】计算下列各式的值：(1)3－43；(2)63－π6；(3)8x－28；(4)4－92；(5)3－22＋31－23＋41－24.【解题探究】利用nan的性质进行求值运算时，要注意n的奇偶性，特别是n为偶数时，要注意a的正负.对于(5)要先配方，再结合根式的运算进行求解.【解析】(1)3－43＝3－64，因为(－4)3＝－64，所以3－64＝－4，即3－43＝－4.(2)63－π6＝|3－π|＝π－3.(3)8x－28＝|x－2|＝x－2，x≥2，2－x，x2.(4)4－92＝481＝434＝3.(5)因为3－22＝(2)2－22＋1＝(1－2)2，所以原式＝1－22＋31－23＋41－24＝|1－2|＋(1－2)＋|1－2|＝2－1＋1－2＋2－1＝2－1.【方法规律】1.利用根式的性质解题的关键是在理解的基础上熟记根式的意义与性质，特别要注意在nan中，n是偶数且a0的情况.2.对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论.2.化简：(1)nx－πn(xπ，n∈N*)；(2)4a2－4a＋1a≤12.【解析】(1)∵xπ，∴x－π0.当n为偶数时，nx－πn＝|x－π|＝π－x；当n为奇数时，nx－πn＝x－π.综上，nx－πn＝π－x，n为偶数，n∈N*，x－π，n为奇数，n∈N*.(2)∵a≤12，∴1－2a≥0.∴4a2－4a＋1＝2a－12＝|2a－1|＝1－2A．有条件根式的化简【例3】(1)若xy≠0，则使4x2y2＝－2xy成立的条件可能是()A．x0，y0B．x0，y0C．x≥0，y≥0D．x0，y0(2)设－3x3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值.【解题探究】注意配方或整体考虑求解.【答案】(1)B【解析】∵4x2y2＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.又xy≠0，∴xy0.故选B．(2)【解析】原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|.∵－3x3，∴当－3x1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2.当1≤x3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝－2x－2，－3x1，－4，1≤x3.【方法规律】1.有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.2.有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.3.若nm0，则m2＋2mn＋n2－m2－2mn＋n2＝()A．2mB．2nC．－2mD．－2n【答案】C【解析】原式＝m＋n2－m－n2＝|m＋n|－|m－n|，∵nm0，∴m＋n0，m－n0.∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.忽略n的奇偶分类导致式子nan(a∈R)化简出错【示例】计算：31＋23＋41－24.【错解】31＋23＋41－24＝(1＋2)＋(1－2)＝2.【错因】因为41－240，而1－20，所以41－24≠1－2.【正解】31＋23＋41－24＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝22.【警示】对于根式nan的化简一定要注意n为正奇数还是正偶数，因为nan＝a(a∈R)成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶数，那么nan＝|a|.nan与(na)n两式子的含义(1)nan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，a∈R，但此式的值受n的奇偶限制：当n为大于1的奇数时，nan＝a；当n为大于1的偶数时，nan＝|a|.(2)(na)n是实数na的n次幂，当n为大于1的奇数时，(na)n＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，(na)n＝a，a≥0.由此知只要(na)n有意义，其值恒等于a，即(na)n＝A．1.化简1－2x2x12的结果是()A．1－2xB．0C．2x－1D．(1－2x)2【答案】C【解析】∵1－2x2＝|1－2x|，x12，∴1－2x0.∴1－2x2＝2x－1.2.下列式子中成立的是()A．a－a＝－a3B．a－a＝－a3C．a－a＝－－a3D．a－a＝a3【答案】C【解析】要使a－a有意义，则a≤0，故a－a＝－(－a)－a＝－－a2·－a＝－－a3，故选C．3.若x3，则x2－6x＋9－|2－x|＝________.【答案】－1【解析】x2－6x＋9－|2－x|＝x－32－|2－x|＝|x－3|－|2－x|＝x－3－(x－2)＝－1.4.化简(a－1)2＋1－a2＋31－a3＝________.【答案】a－1【解析】由根式a－1有意义可得a－1≥0，即a≥1，∴原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1.5．若a－3a2－9＝(3－a)a＋3成立，求实数a的取值范围．【解析】a－3a2－9＝a－32a＋3＝|a－3|·a＋3，要使|a－3|a＋3＝(3－a)a＋3成立，需a－3≤0，a＋3≥0，解得a∈[－3,3]．