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第二章基本初等函数(Ⅰ)2．1指数函数素养提升核心素养归纳素养培优提能核心素养归纳一、指数与指数运算疑点透析1．如何理解n次方根的概念若一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？是x＝na吗？这个回答是不完整的．正确表示应如下：x＝na，n为奇数，±na，n为偶数，a0，不存在，n为偶数，a0，0，a＝0.主要性质①当n为奇数时，nan＝a；②当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.2．如何理解分数指数幂的意义分数指数幂amn不可以理解为mn个a相乘，它是根式的一种新的写法．规定amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)，a－mn＝1amn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上不同而已.0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数而定．3．分数指数幂和整数指数幂有什么异同相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算．其运算形式为ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝ar·br，式中a0，b0，r，s∈Q，对于这三条性质，不要求证明，但需记准．不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式．4．指数幂的运算在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．二、解读指数函数的四个难点难点之一：概念指数函数y＝ax有三个特征：①指数：指数只能是自变量x，而不能是x的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.【例1】给出五个函数：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝πx；④y＝xx；⑤y＝22x＋1.以上函数中指数函数的个数是________．[分析]根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考查，是否满足指数函数的定义．[解析]对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指数是x的一次函数，故①②④⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．[答案]1难点之二：讨论指数函数y＝ax(a0，且a≠1)，当a1时，是增函数；当0a1时，是减函数．【例2】函数y＝ax(a0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．[分析]遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a进行分类讨论，再列出方程并求出a.[解]当a1时，函数y＝ax在[1，2]上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2－a＝a2，即a2＝3a2，所以a＝32；当0a1时，函数y＝ax在[1，2]上的最大值是a，最小值是a2，依题意得a－a2＝a2，即a2＝a2，所以a＝12.综上可知，a＝32或a＝12.难点之三：复合指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则．【例3】求函数y＝13－x2＋x＋2的单调递减区间．[分析]指数函数与指数型复合函数的区别在于指数自变量是x还是x的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解．[解]由－x2＋x＋2≥0知，函数的定义域是[－1，2]．令u＝－x2＋x＋2＝－x－122＋94，则y＝13u)，当x∈－1，12时，随x的增大，u增大，y减小，故函数的递减区间为－1，12.难点之四：图象指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象特征是：当a1时，在y轴的右侧，a越大，图象越往上排；在y轴左侧，a越大，图象越往下排．【例4】利用指数函数的图象比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小．[分析]可在同一坐标系中作出y＝0.7x及y＝0.4x的图象，从图象中得出结果．[解]如图所示，作出y＝0.7x、y＝0.4x及x＝－0.3的图象，易知0.7－0.30.4－0.3.[评注]图象应记忆准确，在第二象限中靠近y轴的函数应是y＝0.4x，而不是y＝0.7x，这一点应注意．