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第二章函数§5简单的幂函数自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|了解幂函数的概念；了解函数的奇偶性的含义.1．幂函数：如果一个函数，底数是__________，指数是________，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．自变量x常量α练一练：下列函数中，不是幂函数的是()A．y＝2xB．y＝x－1C．y＝xD．y＝x2答案：A2．奇函数：一般地，图像关于______对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)和f(－x)的________相等，符号______，即f(x)＝_______；反之，满足____________的函数y＝f(x)一定是奇函数．原点绝对值相反－f(－x)f(x)＝－f(－x)练一练：函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a－1)是奇函数，则a等于()A．－1B．0C．1D．无法确定解析：奇函数的定义域关于原点对称，∴a＝1.答案：C3．偶函数：一般地，图像关于______对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)和f(－x)的___相等，即f(x)＝______；反之，满足___________的函数y＝f(x)一定是偶函数．y轴值f(－x)f(x)＝f(－x)练一练：下列条件，可以说明函数y＝f(x)是偶函数的是()A．在定义域内存在x使得f(－x)＝f(x)B．在定义域内存在x使得f(－x)＝－f(x)C．对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)D．对定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)答案：D4．当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有________奇偶性练一练：函数f(x)＝x2＋x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：由x≥0得f(x)的定义域为[0，＋∞)，定义域关于原点不对称，∴f(x)为非奇非偶函数．答案：D5．所有的幂函数在_________上有定义，并且图像都过点______，当α＞0时，幂函数的图像还过点______，并且在区间(0，＋∞)上是________；当α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是________．(0，＋∞)(1，1)(0，0)递增的递减的6.几种常见幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域__________________________值域______________________________奇偶性______________________x∈[0，＋∞)时，___x∈(0，＋∞)时，___单调性___x∈(－∞，0]时，_________x∈(－∞，0)时，___RRR[0，＋∞){x|x≠0}R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇增增增增减减减1．如何理解幂函数的概念？答：(1)幂函数y＝xα中自变量是底数x，而指数α为常数，一般只研究α＝－1，12，1，2，3时的情况，几个常见幂函数的图像如图．(2)只有形如y＝xα的函数才是幂函数，而y＝(2x)α，y＝3xα，y＝xα＋1等形式的函数不是幂函数．(3)当指数α取值不一样时，幂函数的定义域也不一样．2．怎样理解函数的奇偶性？答：(1)奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域内每一个x的值，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．(2)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(3)函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数又是偶函数．(4)如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．3．用定义判断函数奇偶性的一般步骤是什么？答：(1)确定定义域，判断定义域区间是否关于原点对称．(2)计算f(－x)并变形得出与f(x)之间的关系．(3)下结论．典例精析规律总结2课堂互动探究已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5(a为常数)．(1)a为何值时此函数为幂函数？(2)a为何值时此函数为正比例函数？(3)a为何值时此函数为反比例函数？【解】(1)由题意得a2－3a＋2＝1，即a2－3a＋1＝0，∴a＝3±52.(2)由题意知a2－5a＋5＝1，a2－3a＋2≠0，∴a＝4.(3)由题意知a2－5a＋5＝－1，a2－3a＋2≠0，∴a＝3.【方法总结】幂函数中，x的指数为常量，且为实数．含x项的系数是1.一般情况可由不等式(组)求解．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解：根据幂函数定义得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．故f(x)＝x3.讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性，并作出函数图像．(1)y＝x14；(2)y＝x13.【解】(1)y＝x14＝4x.定义域：[0，＋∞)；值域：[0，＋∞)．定义域区间关于原点不对称，所以y＝x14既不是奇函数也不是偶函数．(2)y＝x13＝3x，定义域：R；值域：R.定义域关于原点对称，设y＝f(x)＝x13f(－x)＝(－x)13＝－x13＝－f(x)，所以y＝x13是奇函数．【方法总结】幂函数y＝xα，随α取值不同，定义域，值域会发生变化．作图时要标出关键点坐标，如(1，1)，(0，0)，一般先作出第一象限内图像，再利用奇偶性作其他图像．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x13.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是()A．①B．②C．③D．④解析：函数f(x)＝x－1是奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上是减函数；函数f(x)＝x－2是偶函数，值域是{y|y0}，在(－∞，0)上是增函数；函数f(x)＝x3是奇函数，值域是R，在(－∞，0)上是增函数；函数f(x)＝x13是奇函数，值域是R，在(－∞，0)上是增函数．答案：B判断下列函数是否具有奇偶性．(1)f(x)＝x3＋2x；(2)f(x)＝2x4＋3x2；(3)f(x)＝x3＋x2；(4)f(x)＝0；(5)f(x)＝x－1＋1－x.【解】(1)函数的定义域为R，它关于坐标原点对称，又f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－x3－2x＝－(x3＋2x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x3＋2x是奇函数．(2)函数的定义域为R，它关于坐标原点对称，又f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＝2x4＋3x2，即f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)＝2x4＋3x2为偶函数．(3)函数的定义域为R，它关于坐标原点对称，但f(－x)＝(－x)3＋(－x)2＝－x3＋x2与－f(x)和f(x)都不相等，所以f(x)＝x3＋x2为非奇非偶函数．(4)函数的定义域为R，它关于原点对称，因为f(－x)＝0，f(x)＝0，即f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)同时成立，所以f(x)＝0既是奇函数又是偶函数．(5)∵定义域为{1}，它不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．【方法总结】判断函数奇偶性时，首先确定定义域区间是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(1)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝x3＋3x，x∈[－4，4)；②f(x)＝1x；③f(x)＝|x－2|－|x＋2|；④f(x)＝x－1·x＋1.(2)判断函数f(x)＝－x2＋1，x＞0，x2－1，x＜0的奇偶性．解：(1)①因为函数的定义域关于坐标原点不对称，即存在－4∈[－4，4)，而4∉[－4，4)．所以，函数f(x)＝x3＋3x，x∈[－4，4)，既不是奇函数也不是偶函数．②因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于坐标原点对称，且对任意的x(x≠0)有f(－x)＝1－x＝－1x＝－f(x)，所以，函数f(x)＝1x是奇函数．③函数的定义域为实数集R，定义域关于坐标原点对称．因为f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，所以，函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．④函数的定义域为[1，＋∞)，由于f(x)的定义域关于坐标原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)任取x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝－(－x2＋1)＝－f(x)，任取x＜0，则－x＞0.∴f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝－(x2－1)＝－f(x)，对x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)成立．∴f(x)为奇函数．定义在[－2，2]上的奇函数ƒ(x)在区间[0，2]上是减函数，若ƒ(m)＋ƒ(m－1)0，求实数m的取值范围．【错解】∵ƒ(m)＋ƒ(m－1)0，∴ƒ(m)－ƒ(m－1)．又ƒ(x)是奇函数，∴－ƒ(m－1)＝ƒ(1－m)，∴ƒ(m)ƒ(1－m)．又∵ƒ(x)在区间[0，2]上是减函数，且在[－2，2]上是奇函数，∴ƒ(x)在区间[－2，2]上也是减函数，∴m1－m，∴m12.【错因分析】错解的原因是忽略函数ƒ(x)的定义域对参数的限制．【正解】∵ƒ(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且在[0，2]上是减函数，∴ƒ(x)在[－2，2]上也是减函数，由ƒ(m)＋ƒ(m－1)0，得ƒ(m)－ƒ(m－1)，即ƒ(m)ƒ(1－m)，∴－2≤m≤2，－2≤m－1≤2，m1－m，即－2≤m≤2，－1≤m≤3，m12，∴－1≤m12，即实数m的取值范围是－1，12.即学即练稳操胜券3基础知识达标1．已知点33，33在幂函数ƒ(x)的图像上，则ƒ(x)的表达式为()A．ƒ(x)＝x3B．ƒ(x)＝x－3C．ƒ(x)＝x12D．ƒ(x)＝x－12解析：设幂函数ƒ(x)＝xα，则33α＝33，即3－α2＝332，∴－α2＝32，∴α＝－3，∴ƒ(x)＝x－3.答案：B2．设α∈－1，－12，13，12，1，2，3，则使幂函数y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为()A．3B．4C．5D．6解析：当α＝13，1，3时，幂函数y＝xα为奇函数；当α0时，幂函数在(0，＋∞)上单调递增．答案：A3．函数ƒ(x)＝x23的图像是()解析：ƒ(x)＝x23＝3x2为偶函数，当x≥0时，是增加的，其图像关于y轴对称，可排除A、D；由于0231，所以当x1时，y＝x23x，故选C．答案：C4．如果定义在区间[3－a，5]上的函数f(x)为偶函数，那么a＝________．解析：∵f(x)为偶函数，其定义域为[3－a，5]，∴3－a＝－5，∴a＝8.答案：85．已知函数f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x0时，f(x)＝－1x＋1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)证明函数f(x)在区间(－∞，0)上是单调增函数．解：(1)设x0，则－x0，f(x)＝－f(－x)＝－1x－1，∴f(x)＝－1x＋1，x0，－1x－1，x0.(2)证明：任取x1x20，则f(x1)－f(x2)＝－1x1＋1x2＝x1－x2x1x20.所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是单调增函数．