2019-2020学年高中数学 第二章 函数 4 二次函数性质的再研究 4.2 二次函数的性质课件

第二章函数§4二次函数性质的再研究4．2二次函数的性质自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|掌握二次函数的性质：顶点坐标、开口方向、对称轴、单调区间、最大(小)值；能利用二次函数解决实际问题.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)性质：f(x)＝ax2＋bx＋c＝ax＋b2a2＋4ac－b24a的图像是一条________，抛物线顶点坐标是___________________，对称轴是直线___________________．抛物线－b2a，4ac－b24ax＝－b2a(1)当a＞0时，它的图像开口向上；f(x)在－∞，－b2a上是______的，在－b2a，＋∞上是增加的；当x＝－b2a时，函数取得最小值_____________．(2)当a＜0时，它的图像开口向下；f(x)在－∞，－b2a上是______的，在－b2a，＋∞上是减少的；当x＝－b2a时，函数取得最大值_____________．减少4ac－b24a增加4ac－b24a1．求二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a＞0)在区间x∈[p，q]上最值问题应如何处理？答：(1)对称轴x＝h在区间[p，q]左侧，即当h＜p时，f(x)max＝f(q)，f(x)min＝f(p)．(2)对称轴x＝h在区间[p，q]之间，即当p≤h≤q时，f(x)min＝f(h)＝k；当p≤hp＋q2时，f(x)max＝f(q)；当h＝p＋q2时，f(x)max＝f(p)＝f(q)；当p＋q2＜h≤q时，f(x)max＝f(p)．(3)对称轴x＝h在区间[p，q]的右侧，即当h＞q时，f(x)max＝f(p)，f(x)min＝f(q)．2．有关二次函数在闭区间上的最值的常见题型有哪些？答：一是对称轴和区间都固定；二是对称轴固定、区间动；三是对称轴动、区间固定．典例精析规律总结2课堂互动探究已知函数f(x)＝－12x2－3x－52.(1)求图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，与x轴的交点坐标；(2)求函数的单调区间，最值．【解】y＝－12x2－3x－52＝－12(x2＋6x＋5)＝－12(x2＋6x＋9－9＋5)＝－12[(x＋3)2－4]＝－12(x＋3)2＋2.(1)开口向下，对称轴为直线x＝－3，顶点坐标为(－3，2)，与x轴交点为(－5，0)，(－1，0)．(2)单调增区间为(－∞，－3]，单调减区间为[－3，＋∞)．有最大值为2，无最小值．【方法总结】“配方法”是研究二次函数的主要方法，对一个具体的二次函数，我们对它进行合理的配方，就可以知道这个二次函数的主要性质．求函数y＝－12x2＋6x＋3的最大值和它的图像的对称轴，并说出它在哪个区间上是递增的？在哪个区间上是递减的？解：y＝－12(x2－12x)＋3＝－12(x2－12x＋36)＋18＋3＝－12(x－6)2＋21，∴ymax＝21，对称轴x＝6.在区间(－∞，6]上是递增的，在区间[6，＋∞)上是递减的.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值与最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．【解】(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，∴x＝1时，f(x)的最小值为1；x＝－5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图像的对称轴为x＝－a，∵f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5，故实数a的取值范围是a≤－5或a≥5.【方法总结】已知二次函数在某个区间上的单调性，应考虑开口方向，对称轴与区间端点位置关系．可结合函数草图进行分析．已知函数ƒ(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，则下列不等式成立的是()A．ƒ(4)ƒ(1)ƒ(2)B．ƒ(2)ƒ(1)ƒ(4)C．ƒ(2)ƒ(4)ƒ(1)D．ƒ(4)ƒ(2)ƒ(1)解析：∵ƒ(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，∴当x∈(－∞，2)时，ƒ(x)是减函数，当x∈(2，＋∞)时，ƒ(x)为增函数，又∵x＝4比x＝1距对称轴远，∴ƒ(4)ƒ(1)．又ƒ(2)最小，故有ƒ(2)ƒ(1)ƒ(4)．答案：B已知函数ƒ(x)＝x2－2x＋2.(1)求ƒ(x)在区间12，3上的最大值和最小值；(2)若g(x)＝ƒ(x)－mx在[2，4]上不是单调函数，求m的取值范围．【解】(1)∵ƒ(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈12，3，∴ƒ(x)的最小值是ƒ(1)＝1.又ƒ12＝54，ƒ(3)＝5，∴ƒ(x)的最大值是ƒ(3)＝5.(2)∵g(x)＝ƒ(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2在[2，4]上不是单调函数，∴2m＋224，∴2m6.故m的取值范围是(2，6)．【方法总结】对于二次函数在某个区间上最值问题，应判断区间与对称轴位置关系，关系不明确时要分情况讨论，对所有位置关系一一分析．已知函数ƒ(x)＝x2－(2a－4)x＋2在[－1，1]内的最小值为g(a)，求g(a)的解析式．解：ƒ(x)＝x2－2(a－2)x＋2＝[x－(a－2)]2－(a－2)2＋2，x∈[－1，1]，其图像的对称轴为x＝a－2.①当a－2－1，即a1时，函数ƒ(x)在[－1，1]上单调递增，∴函数ƒ(x)的最小值g(a)＝ƒ(－1)＝2a－1；②当－1≤a－2≤1，即1≤a≤3时，∴ƒ(x)在[－1，1]上的最小值g(a)＝ƒ(a－2)＝－(a－2)2＋2；③当a－21，即a3时，ƒ(x)在[－1，1]上单调递减，∴ƒ(x)的最小值g(a)＝ƒ(1)＝－2a＋7.综上知，g(a)＝2a－1，a1，－（a－2）2＋2，1≤a≤3，－2a＋7，a3.若函数f(x)＝ax2－x＋1的图像与x轴只有一个交点，求实数a的值．【错解】∵f(x)＝ax2－x＋1的图像与x轴只有一个交点．∴Δ＝(－1)2－4a＝0，a＝14.【错因分析】对二次函数理解不到位，二次项系数是a，当a≠0时，函数是二次函数；当a＝0时，函数是一次函数，也符合题意．【正解】①当a＝0时，f(x)＝－x＋1.图像与x轴只有一个交点．②当a≠0时，Δ＝(－1)2－4a＝0，解得a＝14.综上，a的值为0或14.即学即练稳操胜券3基础知识达标1．函数f(x)＝x2－6x＋7，x∈(2，5]的值域是()A．(－1，2]B．(－2，2]C．[－2，2]D．[－2，－1]解析：函数f(x)的对称轴方程是x＝3，则最小值为f(3)＝32－6×3＋7＝－2.又f(2)＝22－6×2＋7＝－1，f(5)＝52－6×5＋7＝2.∴函数的值域是[－2，2]．答案：C2．若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)0，则f(m＋1)的值()A．为正数B．为负数C．为非负数D．与m有关解析：∵f(－m)＝m2＋m＋a0，∴f(m＋1)＝(m＋1)2－(m＋1)＋a＝m2＋m＋a＝f(－m)0.答案：B3．函数y＝x2－4ax＋1在区间[－2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[－1，＋∞)解析：由题意知对称轴x＝2a≤－2，∴a≤－1.答案：B4．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)＝x2－6x＋8对称轴方程为x＝3，x∈[1，a]时，最小值为f(a)，∴1＜a≤3.答案：1＜a≤35．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋b(a≠0)，x∈[－2，2]，若f(x)max＝9，f(x)min＝－9，求实数a，b的值．解：f(x)＝ax2－2ax＋b，函数f(x)图像的对称轴为x＝1.当a0时，f（x）max＝f（－2）＝4a＋b＋4a＝9，f（x）min＝f（1）＝a－2a＋b＝－9，解得a＝2，b＝－7.当a0时，f（x）max＝f（1）＝－a＋b＝9，f（x）min＝f（－2）＝8a＋b＝－9，解得a＝－2，b＝7.∴a＝2，b＝－7或a＝－2，b＝7.