2019-2020学年高中数学 第二章 函数 4 二次函数性质的再研究 4.1 二次函数的图像课件

第二章函数§4二次函数性质的再研究4．1二次函数的图像自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|理解二次函数的图像中a，b，c，h，k的作用，领会研究二次函数图像常用的方法；掌握二次函数解析式的表示法，并能灵活运用.1．函数____________________叫作二次函数，它的定义域是__．当b＝c＝0时，则二次函数变为___________．它的图像是_______________________．当a＞0时，抛物线开口向___，a＜0时，抛物线开口向___．2．图像变换(1)把y＝ax2(a≠0)的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)移动|h|个单位长度，得到y＝a(x＋h)2的图像．(2)把y＝ax2(a≠0)的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)移动|k|个单位长度，得到____________的图像．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)Ry＝ax2(a≠0)一条顶点为原点的抛物线上下y＝ax2＋k1．研究二次函数的图像一般应考虑哪些方面？答：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是一条抛物线．研究图像时一般考虑开口方向，对称轴，顶点．可先将解析式转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式．2．作出二次函数的图像应注意什么？答：一般采用“一轴五点”，即对称轴、顶点与x轴交点、与y轴交点及交点关于对称轴的对称点．若不方便取值时，可列表取关于对称轴对称的点．3．二次函数图像平移规律是什么？答：图像平移规律“左加右减，上加下减”即把图像向左(右)平移时，只需把原解析式中的x加上(减去)一个正数，向上(下)平移时只需将原解析式加上(减去)一个正数．典例精析规律总结2课堂互动探究作出下列函数的图像．(1)y＝x2＋1；(2)y＝2x2－4x＋1.【解】(1)对称轴为y轴，顶点坐标为(0，1)，x＝±1时，y＝2；x＝±2时，y＝5.(2)y＝2(x2－2x＋1)－1＝2(x－1)2－1对称轴x＝1，顶点(1，－1).x－10123y＝2x2－4x＋171－117【方法总结】作图时，对称轴一般画虚线，当不方便作出与坐标轴交点时，可列表，只需在对称轴两侧对称取点即可．画二次函数y＝12x2－6x＋21的图像．解：y＝12(x2－12x＋36)＋3＝12(x－6)2＋3.x45678y5723725根据下列条件，求二次函数的解析式：(1)图像经过点(0，2)，(1，1)，(3，5)；(2)图像经过(－3，2)，顶点是(－2，3)；(3)二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)最大值为8.【解】(1)设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵二次函数经过三点(0，2)，(1，1)，(3，5)，∴代入解析式得：a·02＋b·0＋c＝2，a·12＋b·1＋c＝1，a·32＋b·3＋c＝5，即c＝2，a＋b＋c＝1，9a＋3b＋c＝5，解得a＝1，b＝－2，c＝2.∴所求二次函数解析式为y＝x2－2x＋2.(2)设y＝a(x＋2)2＋3(a≠0)．∵图像过(－3，2)，∴a·(－3＋2)2＋3＝2，a＝－1.∴所求二次函数解析式为y＝－(x＋2)2＋3，即y＝－x2－4x－1.(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7，∴解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.【方法总结】二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当形式．(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝－12x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y＝x－2的交点坐标为(1，n)和(m，1)．求这个二次函数的解析式．解：∵y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝－12x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反，∴a＝12，则y＝12x2＋bx＋c，又(1，n)，(m，1)两点均在y＝x－2上，∴n＝1－2，1＝m－2，解得m＝3，n＝－1，即点(1，－1)和(3，1)均在所求抛物线上，∴－1＝12＋b＋c，1＝92＋3b＋c，解得b＝－1，c＝－12.∴这个二次函数的解析式为y＝12x2－x－12.将二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数y＝x2－2x＋1的图像，求b与c.【解】∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2，∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1，0)．根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝x2＋bx＋c的图像，即把抛物线y＝x2－2x＋1的图像向下平移3个单位，再向右平移2个单位就可得到抛物线y＝x2＋bx＋c的图像，此时顶点B(1，0)平移至点A(3，－3)处．∴抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点是(3，－3)．即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6，对照y＝x2＋bx＋c，得b＝－6，c＝6.【方法总结】抛物线y＝a(x＋h)2＋k在平移时，a不变，只是h或k发生变化，故抛物线的平移问题，关键在于准确求出顶点的坐标，掌握顶点位置的变化情况．如何由函数y＝2x2的图像变换为函数y＝2x2＋4x－6的图像？解：将y＝2x2＋4x－6配方得y＝2(x＋1)2－8，因此，把函数y＝2x2的图像向左平移1个单位长度，得到函数y＝2(x＋1)2的图像，再向下平移8个单位长度，得到函数y＝2(x＋1)2－8的图像，即函数y＝2x2＋4x－6的图像．要得到函数f(x)＝4x2的图像，只需将函数g(x)＝4x2－2x－1的图像怎样变换？【错解】g(x)＝4x2－2x－1＝4x－142－54.只需将f(x)的图像向右平移14个单位长度，得到函数f(x)＝4x－142的图像；再将函数f(x)＝4x－142的图像向下平移54个单位长度，得到f(x)＝4x－142－54的图像．【错因分析】审题不清，未分清哪个是变换前的函数，哪个是变换后的函数．【正解】g(x)＝4x2－2x－1＝4x－142－54.将g(x)＝4x－142－54的图像向左平移14个单位长度，得到f(x)＝4x2－54的图像；再将f(x)＝4x2－54的图像向上平移54个单位长度，得到f(x)＝4x2的图像.即学即练稳操胜券3基础知识达标1．如何平移抛物线y＝2x2可得到抛物线y＝2(x－4)2－1()A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位解析：要得到y＝2(x－4)2－1的图像，只需将y＝2x2的图像向右平移4个单位，再向下平移1个单位．答案：D2．二次函数y＝x2＋ax＋b，若a＋b＝0，则它的图像必经过点()A．(－1，－1)B．(1，－1)C．(1，1)D．(－1，1)解析：∵a＋b＝0，∴当x＝1时，y＝1＋a＋b＝1，∴过点(1，1)．答案：C3．二次函数ƒ(x)＝a2x2－4x＋1的顶点在x轴上，则a的值为()A．0B．－2C．2D．±2解析：由Δ＝(－4)2－4a2＝0，得a2＝4，∴a＝±2.答案：D4．将函数ƒ(x)＝－x2＋2x－1的图像向左平移1个单位后，所得图像的解析式为________．解析：用x＋1代换x得解析式为y＝ƒ(x＋1)＝－(x＋1)2＋2(x＋1)－1＝－x2－2x－1＋2x＋2－1＝－x2.答案：y＝－x25．设点(3，1)及(1，3)为二次函数f(x)＝ax2－2ax＋b的图像上的两个点，求f(x)的解析式．解：将点(3，1)及(1，3)分别代入f(x)＝ax2－2ax＋b中，有9a－6a＋b＝1，a－2a＋b＝3，解得a＝－12，b＝52.∴解析式为f(x)＝－12x2＋x＋52.