2019-2020学年高中数学 第二章 函数 1 生活中的变量关系 2 对函数的进一步认识 2.1

第二章函数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识2．1函数概念自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|能用集合语言表述函数；会求简单函数的定义域和值域.1．生活中的变量关系：变量及变量之间的__________生活中随处可见，与我们息息相关．并非有依赖关系的两个变量都有__________．只有满足于对其中一个变量的每一个值，另一个变量都有__________的值时，才称它们之间有函数关系．2．函数的概念：在变化过程中，有两个变量x和y，如果______一个x值，相应地就____________y值，那么我们称y是x的函数，其中x是________，y是________．依赖关系函数关系唯一确定给定确定了一个自变量因变量3．函数定义(集合观点)：给定两个__________A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中____________x，在集合B中都存在__________的数f(x)与之对应，那么就把____________叫作定义在A上的函数，记作____________或___________，x∈A．此时，x叫作自变量，________叫作函数的定义域，集合________________叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．非空数集任何一个数唯一确定对应关系ff：A→By＝f(x)集合A{f(x)|x∈A}练一练：函数f(x)＝11－2x的定义域是________．解析：由1－2x0，得x12，∴f(x)的定义域是xx12.答案：xx124．区间：设a，b是两个实数，而且a＜b，我们作出规定如下表：定义名称符号几何表示{x|a≤x≤b}闭区间____________{x|a＜x＜b}开区间____________{x|a≤x＜b}左闭右开区间[a，b){x|a＜x≤b}左开右闭区间(a，b]这里实数a，b都叫作相应区间的______．[a，b](a，b)端点练一练：区间[5，8)表示的集合是()A．{x|x≤5或x8}B．{x|5x≤8}C．{x|5≤x8}D．{x|5≤x≤8}答案：C5．实数集R也可用区间表示为________________，“∞”读作____________，“－∞”读作______________，“＋∞”读作______________．集合{x|x≥a}可表示为______________；集合{x|x＞a}可表示为______________；集合{x|x≤b}可表示为______________；集合{x|x＜b}可表示为______________．(－∞，＋∞)“无穷大”“负无穷大”“正无穷大”[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)练一练：集合{x|x≥1}用区间表示为()A．(－∞，1)B．(－∞，1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)答案：D1．怎样理解函数的概念？答：对于两个变量x和y，x取每一个值时，y必须有唯一的值与之对应，才能确定函数关系．对于不同的x取值，y取值可相同．如函数y＝x2，当x＝±1时，y都得1.2．从集合的角度怎样理解函数？答：(1)必须是非空数集之间的关系．不是数集的集合不能确定函数关系．(2)在由A到B的函数中，对于A中任何一个数，集合B中都存在唯一的元素与之对应；B中允许有元素未与A中元素对应，因此值域不一定是集合B，而是集合B的子集．3．怎样理解函数的符号y＝f(x)?答：(1)y＝f(x)表示y是x的函数，是一个整体符号，不是f与x的积．(2)自变量习惯用x表示，但也可用其他字母表示．(3)f(a)，a∈Z中，f(a)表示x＝a时的函数值，是常量．4．如何判断两个函数是否相同？答：(1)定义域与对应关系分别相同时，两函数即为同一函数．若定义域未明确说明，定义域就是自变量的允许取值范围．(2)用不同字母表示变量对函数无影响．如f(x)＝2x＋1与f(t)＝2t＋1是同一函数．(3)对于较复杂的函数，可先在定义域内化简，再判断．5．如何理解区间的概念？答：(1)区间是集合的另一种表示形式．(2)数集不是都能用区间表示的，如{1，2，3}就不能用区间表示．(3)以“＋∞”或“－∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．典例精析规律总结2课堂互动探究下列对应是否为A到B的函数：(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝[－1，1]，B＝{0}，f：x→y＝0.【解】(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数．(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数．(3)A中元素负整数没有算术平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数．(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数0与之对应，故是集合A到集合B的函数．【方法总结】判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断：(1)A、B必须是非空数集；(2)A中任一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任一元素在B中必须有唯一元素与其对应．判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数．(1)A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝1x；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1；(3)A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，1}，对应关系如图．解：(1)A中的0若作分母无意义，故不是从A到B的函数．(2)A中的0，－1，－2等数使2x－1无意义，所以此对应不是从A到B的函数．(3)满足函数定义，是从A到B的函数．下列各题中两个函数是否表示同一函数？(1)f(x)＝2x＋1，f(t)＝2t＋1；(2)f(x)＝|x|，g(x)＝x2；(3)f(x)＝x－1，g(x)＝(x－1)2；(4)f(x)＝x＋2，g(x)＝x2－4x－2.【解】(1)是同一函数．(2)g(x)＝x2＝|x|定义域相同，对应关系相同，是同一函数．(3)f(x)定义域为R，g(x)定义域为{x|x≥1}，定义域不同，不是同一函数．(4)f(x)定义域为R，g(x)定义域为{x|x∈R且x≠2}，定义域不同，不是同一函数．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是()A．f(x)＝x＋1，g(x)＝x2x＋1B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)4C．f(x)＝x，g(x)＝3x3D．f(x)＝（x＋1）（x＋2），g(x)＝x＋1x＋2解析：f(x)＝x＋1与g(x)＝x2x＋1定义域不同，f(x)的定义域是实数集，g(x)的定义域是非零实数集，故不能表示同一个函数，故A不正确；f(x)＝x2与g(x)＝(x)4的定义域不同，f(x)的定义域是实数集，g(x)的定义域是非负实数集，故不能表示同一个函数，故B不正确；f(x)＝x与g(x)＝3x3＝x具有相同的定义域、值域、对应关系，故表示同一个函数，故C正确；f(x)＝（x＋1）（x＋2）的定义域为(－∞，－2]∪[－1，＋∞)，而g(x)＝x＋1x＋2的定义域为[－1，＋∞)，故不是同一个函数，故D不正确．综上，C正确，A、B、D不正确．答案：C求下列函数的定义域：(1)y＝x2＋2x－3；(2)y＝x－3＋x＋4x－5；(3)y＝x－1＋1－x.【解】(1)x－3≠0，∴定义域为{x|x≠3}．(2)x－3≥0，x－5≠0，即x≥3且x≠5，∴定义域为{x|x≥3且x≠5}．(3)x－1≥0，1－x≥0，即x≥1，x≤1，解得x＝1.∴定义域为{1}．【方法总结】定义域必须保证解析式各部分都有意义．最终结果要用集合或区间形式表示．求下列函数的定义域：(1)y＝x－1·4－x＋2；(2)y＝2x＋3－12－x＋1x.解：(1)由x－1≥0，4－x≥0，得x≥1，x≤4，所以函数y＝x－1·4－x＋2的定义域是{x|1≤x≤4}．(2)要使函数有意义，需2x＋3≥0，2－x＞0，x≠0，解得x≥－32，x＜2，x≠0.所以，函数y＝2x＋3－12－x＋1x的定义域为x－32≤x＜2，且x≠0.已知函数f(x)＝3x3＋2x.(1)求f(2)，f(－3)的值；(2)求f(a)，f(－a)，f(a)＋f(－a)的值．【解】(1)f(2)＝3×23＋2×2＝28，f(－3)＝3×(－3)3＋2×(－3)＝－81－6＝－87.(2)f(a)＝3a3＋2a，f(－a)＝3×(－a)3＋2×(－a)＝－3a3－2a，f(a)＋f(－a)＝0.【方法总结】自变量取某一具体值时，要准确运算，自变量取字母时，结果一般按某一字母降幂排列．已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求：f(－3)，f(－b)，f(b－2)的值．解：f(－3)＝3×(－3)2－5×(－3)＋2＝9＋53＋2＝11＋53，f(－b)＝3×(－b)2－5×(－b)＋2＝3b2＋5b＋2，f(b－2)＝3×(b－2)2－5×(b－2)＋2＝3(b2－4b＋4)－5b＋10＋2＝3b2－17b＋24.求函数y＝11＋1x的定义域．【错解】y＝11＋1x＝xx＋1，∴要使函数有意义，必须x＋1≠0，即x≠－1，∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠－1}．【错因分析】上述解答，结果是错误的．因为在解答时，对原函数进行了不等价变形，从而导致定义域的范围扩大，求函数的定义域时必须使原函数有意义来求解，不可以化简后再求函数的定义域．【正解】要使函数有意义，必须满足x≠0，1＋1x≠0，即x≠0，x≠－1，∴函数y＝11＋1x的定义域是{x|x∈R，x≠0且x≠－1}．即学即练稳操胜券3基础知识达标1．下列图形中，可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数图像的是()解析：A中不满足值域，B中不满足定义域，D中图像不是函数的图像．答案：C2．函数y＝1－x2x2－3x－2的定义域为()A．(－∞，1]B．－∞，－12∩－12，1C．(－∞，2]D．－∞，－12∪－12，1解析：由1－x≥0，2x2－3x－2≠0，得x≤1，x≠－12且x≠2，∴定义域为－∞，－12∪－12，1.答案：D3．用区间表示下列数集：(1){x|5＜x≤7}＝________；(2){x|x＜3且x≠0}＝________；(3)R＝________．答案：(1)(5，7](2)(－∞，0)∪(0，3)(3)(－∞，＋∞)4．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(1)＝________．解析：∵f(x)＝x2＋|x－2|，∴f(1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2.答案：25．已知函数f(x)＝x2＋x－1.(1)求f(2)，f1x；(2)若f(x)＝5，求x的值．解：(1)f(2)＝22＋2－1＝5.f1x＝1x2＋1x－1＝1x2＋1x－1.(2)∵f(x)＝5，∴x2＋x－1＝5，即x2＋x－6＝0，(x＋3)(x－2)＝0，∴x＝－3或x＝2.