2019-2020学年高中数学 第二章 概率 3 条件概率与独立事件 第一课时 条件概率课件 北师大

[自主梳理]一、条件概率定义对于两个事件A和B，在已知________的条件下________的概率，称为事件B发生时事件A发生的条件概率，记为________计算公式当P(B)0时，有P(A|B)＝PABPB；当P(A)0时，有P(B|A)＝PABPAB发生A发生P(A|B)二、条件概率的性质1．P(B|A)∈________.2．如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝_______________.[0,1]P(B|A)＋P(C|A)[双基自测]1．若P(A)＝34，P(B|A)＝12，则P(AB)等于()A.23B．38C.13D.58解析：利用条件概率的乘法公式求解．P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝34×12＝38.B2．已知P(AB)＝310，P(A)＝35，则P(B|A)等于()A.950B.12C.910D.14解析：P(B|A)＝PABPA＝31035＝12.B3．一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.解析：∵P(B)＝49，n(AB)＝1，P(AB)＝19，∴P(A|B)＝PABPB＝14.14探究一利用条件概率公式求条件概率[例1]一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？[解析](1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸到白球”为AB，先摸一球不放回，再摸一球共有4×3种结果．∴P(A)＝2×34×3＝12，P(AB)＝2×14×3＝16.∴P(B|A)＝PABPA＝1612＝13.(2)设“先摸出一个白球放回”为事件A1，“再摸出一个白球”为事件B1，则“两次都摸到白球”为事件A1B1.P(A1)＝2×44×4＝12，P(A1B1)＝2×24×4＝14.∴P(B1|A1)＝PA1B1PA1＝1412＝12.∴先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率为13；先摸一个白球后放回，再摸出一个白球的概率为12.1．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？解析：设A＝“甲地为雨天”，B＝“乙地为雨天”，则根据题意有：P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，所以(1)P(A|B)＝PABPB＝0.120.18≈0.67；(2)P(B|A)＝PABPA＝0.120.20＝0.60.探究二利用缩小样本空间的观点计算条件概率[例2]一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率．[解析]令Ai＝{第i只是好的}，i＝1,2.解法一A1中元素个数＝C16C19，A1∩A2中元素个数＝C16C15，故P(A2|A1)＝C16C15C16C19＝59.解法二因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝C15C19＝59.利用缩小样本空间的观点计算条件概率的技巧首先明确是求“在谁发生的前提下谁的概率”，其次转换样本空间，即把既定事件A所含的基本事件定义为新的样本空间，显然待求事件B便缩小为事件AB，如图所示．从而P(B|A)＝nABnA.2．5个乒乓球，其中有3个新的、2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率．解析：设A＝“第一次取到新球”，B＝“第二次取到新球”，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球即为事件A发生的条件下事件B也发生．因第一次取到了新球，所以第二次抽取时除去“已抽取”的1个新球，还有2个新球、2个旧球供选取，所以P(B|A)＝24＝12.探究三条件概率的综合应用[例3]在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．[解析]记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝C610C620＋C510C110C620＋C410C210C620＝12180C620，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝PAPD＋PBPD＝210C62012180C620＋2520C62012180C620＝1358.故所求的概率为1358.为了求得比较复杂的事件的概率，往往可以先把它分解成两个(若干个)互不相容的较简单事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过了的号码不再重复．(1)试求不超过3次拨号就接通电话的概率；(2)如果他记得号码的最后一位是奇数，试求拨号不超过3次就接通电话的概率．解析：设第i次接通电话为事件Ai(i＝1,2,3)，则A＝A1∪(A1A2)∪(A1A2A3)表示不超过3次就接通电话．(1)因为事件A1与事件A1A2，A1A2A3彼此互斥，所以P(A)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.(2)用B表示最后一位是奇数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P(A1A2|B)＋P(A1A2A3|B)＝15＋4×15×4＋4×3×15×4×3＝35.“条件概率P(B|A)”与“积事件的概率P(A·B)”混淆致误[典例]袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．[解析]记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(A·B)＝P(A)·P(B|A)＝410×69＝415.[错因与防范]1.解答本题常因没有弄清P(AB)与P(B|A)的含义致误，P(AB)表示在样本空间S中，A与B同时发生的概率；而P(B|A)表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率．2．计算条件概率要明确：(1)准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约；(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥，又P(A)＝C12C13＋C22C25＝710，P(AB)＝C12·C11C25＝15，P(AC)＝C12C12C25＝25，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝PABPA＋PACPA＝67.答案：67