2019-2020学年高中数学 第二章 概率 3 条件概率与独立事件 第二课时 独立事件课件 北师大

[自主梳理]相互独立事件概念一般地，若事件A，B满足________________，则称事件A，B独立概率计算公式(1)若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即____________________；(2)推广：若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝___________________结论如果事件A与B相互独立，那么________与________，________与________，________与________也都相互独立P(AB)＝P(A)P(B)P(AB)＝P(A)P(B)P(A1)P(A2)…P(An)ABABAB[双基自测]1．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与A2()A．是相互独立事件B．是不相互独立事件C．是互斥事件D．是对立事件解析：由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与A2是相互独立事件．A2．若事件A，B相互独立，且P(A)＝P(B)＝34，则P(AB)＝()A．0B．116C.916D.12C解析：因为事件A，B相互独立，故P(AB)＝P(A)·P(B)＝34×34＝916.解析：P(AB)＝P(A)P(B)＝12×(1－23)＝16，P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－12)×(1－23)＝16.16163．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝12，P(B)＝23，则P(AB)＝________，P(AB)＝________.探究一相互独立事件的判定[例1]判断下列各对事件是不是相互独立事件．(1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，今从甲、乙两组中各任选1名同学参加演讲比赛，“从甲组选出1名男生”与“从乙组选出1名女生”；(2)容器内盛有除颜色外其他均相同的5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”．[解析](1)“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47.若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．判定两事件A、B是否相互独立的依据及注意点判断依据为P(AB)＝P(A)P(B)，在计算P(A)、P(B)及P(AB)的概率时，可能会用到古典概型、排列组合等相关知识，求解时注意知识间的相互融合．1．同时掷两颗质地均匀的骰子，A＝{第一颗骰子出现奇数点}，B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判定事件A与B是否相互独立？解析：同时掷两颗质地均匀的骰子，则A＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，共有3种结果．B＝{第二颗骰子出现2,4,6点}，共有3种结果．AB＝{第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点}，共有C13C13＝9种结果．∵每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12，P(AB)＝C13C13C16C16＝936＝14.∴P(AB)＝P(A)P(B)，即事件A与事件B相互独立．探究二相互独立事件同时发生的概率[例2]甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，求：(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有1人击中目标的概率；(3)至少有1人击中目标的概率．[解析]设甲射击一次，击中目标为事件A，乙射击一次，击中目标为事件B.因为甲是否击中对乙击中的概率没有影响，乙是否击中，对甲击中的概率也没有影响，所以A与B是相互独立事件．依题意，有P(A)＝P(B)＝0.6.(1)两人各射击1次，都击中目标，是A与B同时发生，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.6＝0.36.(2)恰有1人击中目标的含义为：甲中乙不中或甲不中乙中，即事件AB发生或AB发生，由于AB和AB不可能同时发生，∴AB与AB是互斥事件．∴P(AB∪AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.(3)两人各射击1次，至少有1人击中目标，即AB或AB或AB，由于各射击1次，∴它们不可能同时发生，它们为互斥事件．∴至少有1人击中目标的概率是P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.6×0.6＋0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.84.这一问也可用它的对立事件求解：1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.4×0.4＝0.84.解概率问题首先要将事件表示出来，充分分析事件的性质及它们之间的关系，然后代入相关公式求解．对于“至少”“至多”等事件的概率问题，常通过求它的对立事件的概率进行求解，可简化解题过程．2．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13、14，求：(1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有一人译出密码的概率；(4)至多一人译出密码的概率；(5)至少一人译出密码的概率．解析：记A为“甲独立地译出密码”，B为“乙独立地译出密码”．(1)两个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112.(2)两个人都译不出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－13)(1－14)＝12.(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出；乙译出甲译不出，即AB∪AB，∴P(AB∪AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512.(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，∴1－P(AB)＝1－112＝1112.(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，∴1－P(AB)＝1－12＝12.探究三相互独立事件概率的应用[例3]在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．[解析]如图所示，记这段时间内开关JA、JB、JC能够闭合为事件A、B、C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是1－P(A∩B∩C)＝1－0.027＝0.973.即这段时间内线路正常工作的概率是0.973.解答此类题目时，先分析给的元件间是串联、并联还是串并联混合关系，在此基础上结合事件的相互独立性及互斥事件、对立事件的有关知识依据“串联通易求，并联断易求”的原则，给予解答．3．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案：方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．(1)求该应聘者用方案一通过的概率；(2)求该应聘者用方案二通过的概率．解析：记“应聘者对三门考试及格”分别为事件A，B，C.则P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9.(1)该应聘者用方案一通过的概率为P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.03＋0.27＋0.18＋0.27＝0.75.(2)应聘者用方案二通过的概率为P2＝13P(AB)＋13P(BC)＋13P(AC)＝13(0.5×0.6＋0.6×0.9＋0.5×0.9)＝13×1.29＝0.43.方程思想在相互独立事件概率中的应用[典例]甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率．[解析]记事件A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品．由题设知PA·[1－PB]＝14，PB·[1－PC]＝112，PA·PC＝29，解方程组并舍去不合题意的根，得P(A)＝13，P(B)＝14，P(C)＝23.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23.[感悟提高]1.所谓方程思想，是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立起方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得到解决的方法．用方程思想及有关知识解决数学领域与其他领域的一些问题时，往往有独到的作用．2．对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程(组)，然后通过解方程(组)使问题获解．本题中将P(A)，P(B)，P(C)看作未知数联立方程求解，充分体现了方程思想．设甲、乙、丙三台机器是否需要照看相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照看的概率为0.05，甲、丙都需要照看的概率为0.1，乙、丙都需要照看的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙三台机器在这个小时内需要照看的概率；(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照看的概率．解析：(1)设“机器甲需要照看”为事件A，“机器乙需要照看”为事件B，“机器丙需要照看”为事件C.由题意，各台机器是否需要照看相互之间没有影响，因此，A、B、C是相互独立事件．由已知得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，①P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，②P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，③由①②③联立解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，所以甲、乙、丙三台机器在这个小时内需要照看的概率分别为0.2、0.25、0.5.(2)设A的对立事件为A，B的对立事件为B，C的对立事件为C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.75，P(C)＝0.5，所以1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝0.7，故这个小时内至少有一台机器需要照看的概率为0.7.