2019-2020学年高中数学 第二章 概率 2-6-2 正态分布的应用课件 北师大版选修2-3

第1页§6正态分布第二课时正态分布的应用第2页1．正态分布在三个特殊区间的概率值P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.上述结果可用下图表示．第3页特别地，对于标准正态分布的正态变量(这时称它为标准正态变量)在区间(－1，1)，(－2，2)，(－3，3)内取值的概率分别是68.26%，95.44%，99.74%.第4页2．3σ原则服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称为3σ原则．正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这是统计中常用的假设检验方法的基本思想．第5页3．关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σX≤μ＋σ)，P(μ－2σX≤μ＋2σ)，P(μ－3σX≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(Xa)＝1－P(X≥a)，P(Xμ－a)＝P(X≥μ＋a)，若bμ，则P(Xb)＝1－P（μ－bXμ＋b）2.第6页课时学案第7页题型一三个概率值的应用例1求正态总体N(1，4)在(－∞，3)内的概率．【思路】由已知μ＝1，σ＝2，先求出(－1，3)内的概率，再求(3，＋∞)内的概率，再利用曲线与x轴之间的面积为1，求出(－∞，3)内的概率．第8页【解析】由题意知μ＝1，σ＝2.∴P(－1X≤3)＝P(1－2X≤1＋2)＝0.6826.∴P(X3)＝12(1－0.6826)＝0.1587.∴在(－∞，3)内取值的概率为1－0.1587＝0.8413.第9页探究1利用正态总体，在三个特殊区间内取值的概率值进行计算时，对于不符合利用特殊区间内概率值的，需要找出新的解决办法．第10页◎思考题1在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，4)，求正态总体ξ在(－1，1)内取值的概率．【思路】解答本题可先求出ξ在(－1，3)内取值的概率，然后由密度函数关于x＝1对称，从而ξ在(－1，1)内取值的概率就等于在(－1，3)内取值的概率的一半．第11页【解析】由题意知μ＝1，σ＝2，∴P(－1ξ≤3)＝P(1－2ξ≤1＋2)＝0.6826.又∵密度函数关于x＝1对称，∴P(－1ξ1)＝P(1ξ3)＝12P(－1ξ3)＝0.3413.第12页例2设随机变量X～N(2，9)，若P(Xc＋1)＝P(Xc－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4X8)．第13页【解析】(1)由X～N(2，9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(Xc＋1)＝P(Xc－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2.∴c＝2.(2)P(－4X8)＝P(2－2×3X2＋2×3)＝0.9544.第14页探究2充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个性质，一般地，有P(Xμ－σ)＝P(X≥μ＋σ)．第15页◎思考题2设X～N(1，32)，试求(1)P(－2X≤4)；(2)P(4X≤7)．第16页【解析】因为X～N(1，32)，所以μ＝1，σ＝3.(1)P(－2X≤4)＝P(1－3X≤1＋3)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.(2)因为P(4X≤7)＝12[P(－5X≤7)－P(－2X≤4)]＝12[P(1－6X≤1＋6)－P(1－3X≤1＋3)]＝12[P(μ－2σX≤μ＋2σ)－P(μ－σX≤μ＋σ)]＝12(0.9544－0.6826)＝0.1359.第17页例3在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90，100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？第18页【思路】正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．第19页【解析】∵ξ～N(90，100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70，110)内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.6826，所以考试成绩ξ位于区间(80，100)内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80，100)间的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．第20页【点评】解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间中的哪一个．第21页探究33σ原则是什么意思．由于正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率是1，由上所述，容易推出，它在区间(μ－2σ，μ＋2σ)之外取值的概率是4.56%，在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率是0.26%.于是，正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．第22页◎思考题3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)．现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，试计算该班同学中成绩在90分以上的有多少人？【思路】依题意，由80～85分同学人数和所占百分比求出该班同学总数，再求90分以上同学的人数．第23页【解析】∵成绩服从正态分布N(80，52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75，85)内的同学占全班同学的68.26%.∴成绩在(80，85)内的同学占全班同学的34.13%.设该班有x名同学，则有x×34.13%＝17，解得x＝50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，第24页∴成绩在(70，90)内的同学占全班同学的95.44%.∴成绩在(70，90)外的同学占全班同学的4.56%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.即有50×2.28%≈1(人)．即成绩在90分以上的约有1人．第25页【点评】充分利用正态分布中的随机变量取值在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值进行计算．第26页课后巩固第27页1．正态分布N(μ，σ2)在下面几个区间内的取值概率依次为()①(μ－3σ，μ＋3σ]②(μ－2σ，μ＋2σ]③(μ－σ，μ＋σ]A．①68.26%②95.44%③99.74%B．①99.74%②95.44%③68.26%C．①68.26%②99.74%③95.44%D．①95.44%②68.26%③99.74%第28页答案B解析结合“3σ”原则易知答案选B.第29页2．正态总体N(0，49)，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为()A．0.46B．0.9974C．0.03D．0.0026第30页答案D解析P(－2ξ≤2)＝P(0－3×23ξ≤0＋3×23)＝P(μ－3σξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴数值落在(－∞，2)∪(2，＋∞)的概率为1－0.9974＝0.0026.第31页3．若随机变量η服从标准正态分布N(0，1)，则η在区间(－3，3]上取值的概率等于()A．0.6826B．0.9544C．0.9974D．0.3174第32页答案C解析μ＝0，σ＝1，∴(－3，3]内概率就是(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率0.9974.第33页4．在某市2015年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？()A．1500B．1700C．4500D．8000第34页答案A解析因为学生的数学成绩X～N(98，100)，所以P(X≥108)＝12[1－P(88X108)]＝12[1－P(μ－σXμ＋σ)]＝12(1－0.6826)＝0.1587，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.1587×9450≈1500名，故选A.第35页5．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．第36页答案38解析依题意，部件正常工作就是该部件使用寿命超过1000小时，元件正常工作的概率为0.5，则部件正常工作的概率为1212×12＋12×（1－12）＋（1－12）×12＝38.第37页6．已知X～N(2.5，0.12)，求X落在区间(2.4，2.6]中的概率．解析∵X～N(2.5，0.12)，∴μ＝2.5，σ＝0.1.∴X落在区间(2.4，2.6]中的概率为P(2.5－0.1X≤2.5＋0.1)＝0.6826.第38页