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第1页§6正态分布第一课时正态分布的概念第2页1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝12π·σe－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数．我们称φμ，σ(x)的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线．如图所示：第3页2．正态分布如果对于任何实数ab，随机变量X满足P(aX≤b)＝abφμ，σ(x)dx，那么称X的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，那么记作X～N(μ，σ2)．第4页1．关于正态分布(1)若X～N(μ，σ2)，则P(aX≤b)可近似地看为由正态曲线、过点(a，0)和(b，0)与x轴垂直的两条直线及x轴所围成的平面图形的面积，如下图：第5页(2)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．把μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布．(3)正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布．如长度测量误差．正常生产条件下各种产品的质量指标等．第6页2．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝12π·σe－（x－μ）22σ2，x∈R有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称⇔P(μ－ξ≤x≤μ)＝P(μxμ＋ξ)(ξ0)；第7页(3)当x＝μ时，取得最大值为12πσ；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ决定，曲线随着μ的变化而沿x轴左右平移，实际上E(X)＝μ；如下图①第8页(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．实际上，σ的大小刻画了总体分布的集中与分散程度，且D(X)＝σ2，如下图②.①②第9页课时学案第10页题型一正态分布密度函数的概念例1下列函数是正态分布密度函数的是()A．f(x)＝12πσe（x－μ）22σ2，μ，σ(σ0)都是实数B．f(x)＝2π2πe－x22第11页C．f(x)＝122πe（x－1）24D．f(x)＝12πex22第12页【思路】仔细对照正态分布密度函数f(x)＝12πσ·e－（x－μ）22σ2(x∈R)，注意指数σ和系数的分母上的σ要一致，以及指数部分是一个负数．第13页【解析】A错在正确的函数的系数分母部分的二次根式不包含σ的，而且指数部分的符号应当是负的．C从系数12πσ看σ＝2，但从指数看σ＝2，不正确．D错在指数部分缺少一个负号．【答案】B第14页探究1一定要小心识别各种函数是不是正态分布密度函数，不能看着相似就认定必定是正态分布密度函数．第15页◎思考题1给出下列函数：①f(x)＝12πσ·e－（x＋μ）22σ2；②f(x)＝12πe－（x－μ）24；③f(x)＝12·2π·e－x24；④f(x)＝1πe－(x－μ)2，其中μ∈(－∞，＋∞)，σ0，则可以作为正态分布密度函数的个数有()A．1B．2C．3D．4第16页【答案】C第17页题型二正态曲线的性质例2关于正态曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x＝μ对称，整条曲线在x轴上方；(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；(3)曲线在x＝μ处处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“高瘦”．上述对正态曲线的叙述正确的是________．第18页【解析】根据正态曲线的性质，当x∈(－∞，＋∞)时，正态曲线全在x轴上方，只有当μ＝0时，正态曲线才关于y轴对称，所以(2)不正确．【答案】(1)(3)(4)第19页探究2熟记正态曲线的特点用以解题．第20页◎思考题2把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是()A．曲线C2仍是正态曲线B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2第21页【解析】正态密度函数为φμ，σ(x)＝12π·σe－（x－μ）22σ2，正态曲线对称轴为x＝μ，曲线最高点纵坐标为φμ，σ(μ)＝12π·σ.所以曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标φμ，σ(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变．而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移了2个单位，所以期望μ增大2个单位．所以应选C.【答案】C第22页题型三变量取值的概率与面积的关系例3已知正态总体的数据落在(－3，－1)里的概率和落在(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是________．第23页【思路】正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和(3，5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要求出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义就是期望，我们也就找到了正态分布的数学期望．第24页【解析】区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以正态分布的数学期望是1.【答案】1第25页探究3随机变量取值的概率与面积的关系．如果随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，那么对于任意实数a、b(ab)，当随机变量ξ在区间(a，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形的面积相等．如图(1)中的阴影部分的面积就是随机变量ξ在区间(a，b]上取值的概率．第26页一般地，当随机变量在区间(－∞，a)上取值时，其取值的概率是正态曲线在x＝a左侧以及x轴围成图形的面积，如图(2)．随机变量在(a，＋∞)上取值的概率是正态曲线在x＝a右侧以及x轴围成图形的面积，如图(3)．根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解．第27页◎思考题3若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________．【解析】若X～N(μ，σ2)，则其密度曲线关于X＝μ对称，则P(X≤μ)＝12.【答案】12第28页题型四概率密度函数解析式例4一台机床生产一种尺寸为10mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1.如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式．第29页【思路】由题目中所给的数据可以确定出μ的值及σ2的值，进而求出正态分布的概率密度函数式．第30页【解析】依题意得μ＝110(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10.σ2＝110[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2]＝0.03，即μ＝10，σ2＝0.03，所以η的概率密度函数为f(x)＝106πe－50（x－10）23.第31页探究4对解析式φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2的理解：(1)函数的自变量是x，定义域是R；(2)解析式中含有两个常数π和e，其中π是圆周率，e是自然常数，两个都是无理数；(3)解析式中含有两个参数μ和σ，其中μ可取任意实数，σ0，在不同的正态分析中，μ，σ的取值是不同的，这是正态分布的两个特征数．第32页思考题4(1)如图是一个正态曲线．试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．第33页【思路】解答本题可首先借助图像观察该函数的对称轴及最大值，然后结合φμ，σ(x)＝12π·σe－（x－μ）22σ2可知μ及σ的值．第34页【解析】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.12π·σ＝12π，解得σ＝2.于是概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝12π·e－（x－20）24，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.第35页【点评】利用图像求正态密度函数的解析式，应抓住图像的实质性两点：一是对称轴x＝μ，另一个是最值12π·σ.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入φμ，σ(x)中便可求出相应的解析式．第36页(2)若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．【思路】要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．第37页【解析】由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图像，即正态曲线关于y轴对称，即μ＝0.而正态密度函数的最大值是12π·σ，所以12π·σ＝12π·4，因此σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．第38页课后巩固第39页1．若随机变量满足正态分布N(μ，σ2)，则关于正态曲线性质的叙述正确的是()A．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”B．σ越大，曲线越“瘦高”，σ越小，曲线越“矮胖”C．σ的大小，和曲线的“瘦高”、“矮胖”没有关系D．曲线的“瘦高”、“矮胖”受到μ的影响答案A第40页2．已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，则P(ξ4)＝()A.15B.14C.13D.12答案D解析由正态分布图像可知，μ＝4是该图像的对称轴，∴P(ξ4)＝P(ξ4)＝12.第41页3．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ1)＝p，则P(－1ξ0)＝()A.12＋pB.12－pC．1－2pD．1－p第42页答案B解析P(－1ξ0)＝12P(－1ξ1)＝12[1－2P(ξ1)]＝12－P(ξ1)＝12－p.第43页4．若随机变量ξ～N(2，100)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于()A．2B．10C.2D．可以是任意实数答案A第44页5．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．答案0.2解析由于正态曲线关于直线x＝μ对称和其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.第45页