2019-2020学年高中数学 第二章 概率 2-5-1 离散型随机变量的均值（一）课件 北师大版选

第1页§5离散型随机变量的均值与方差第一课时离散型随机变量的均值(一)第2页1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．第3页2．离散型随机变量的性质若X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．第4页3．两点分布与二项分布的均值XX～B(n，p)X服从两点分布E(X)npp(p为成功概率)第5页1．离散型随机变量的均值(1)由定义可知离散型随机变量的数学期望与它的本身有相同的单位．(2)随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．第6页2．均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(1)当a＝0时，E(b)＝b，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b，即随机变量X与常数之和的期望等于X的期望与这个常数的和；(3)当b＝0时，E(aX)＝aE(X)，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积．第7页课时学案第8页题型一均值的求法例1(1)(2015·淄博高二检测)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为()ξ4a9P0.50.1bA．5B．6C．7D．8第9页(2)在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数．①求这3个数中恰有1个是偶数的概率；②记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．第10页【解析】(1)由题意可知4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，0.5＋0.1＋b＝1，故a＝7，b＝0.4.第11页(2)①记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A，则P(A)＝C41C52C93＝1021.②随机变量ξ的取值为0，1，2.ξ的分布列是ξ012P51212112所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.【答案】(1)C(2)①1021②略．第12页探究1求期望一般分为四步：(1)确定X可能的取值；(2)计算P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．第13页◎思考题1在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列和均值E(X)．第14页【思路】本题(1)可直接用古典概型求概率，也可从其对立事件“2张都不中奖”考虑，间接求解；(2)可以设中奖的奖品价值为随机变量X，然后写出X的所有可能的取值及X的分布列，进而求出E(X)．第15页【解析】(1)方法一：设“该顾客中奖”为事件A，则P(A)＝1－P(A－)＝1－C62C102＝1－1545＝23.方法二：P(A)＝C41C61＋C42C102＝3045＝23.即该顾客中奖的概率为23.第16页(2)X的所有可能值为0，10，20，50，60，且P(X＝0)＝C62C102＝13，P(X＝10)＝C31C61C102＝25，P(X＝20)＝C32C102＝115，P(X＝50)＝C11C61C102＝215，P(X＝60)＝C11C31C102＝115.故X的分布列如下.X010205060P1325115215115从而均值E(X)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16.第17页题型二均值性质的应用例2已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012P141315m120(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．第18页【思路】解答本题可先由分布列的性质求出m的值，然后由随机变量的均值计算公式求出相应的期望值，而对于(3)可以直接利用公式，E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3，也可以先写出Y的分布列，再求E(Y)．第19页【解析】(1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋120＝1，解得m＝16.(2)E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.第20页(3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－1730)－3＝－6215.方法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下Y－7－5－3－11P14131516120所以E(Y)＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.第21页探究2求均值的关键是求出分布列，只要求出了随机变量的分布列，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均值，可以利用E(aX＋b)＝aE(X)＋b求解，当然也可以先求出aX＋b的分布列，再用定义求解．第22页◎思考题2(1)已知随机变量X的分布列为X024P0.4m0.3求：①E(X)；②若Y＝5X＋4，求E(Y)．第23页【解析】直接利用离散型随机变量的均值公式及性质求解．①由随机变量分布列的性质，得0.4＋m＋0.3＝1.∴m＝0.3.∴E(X)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8.②由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×1.8＋4＝13.第24页(2)设离散型随机变量ξ可能的取值为1，2，3，4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________．第25页【解析】由分布列的性质，可得P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1.即(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，化简，可得10a＋4b＝1.①第26页由数学期望公式，可得E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝30a＋10b.∴30a＋10b＝3.②由①，②联立，解得a＝110，b＝0，∴a＋b＝110.【答案】110第27页题型三两点分布的均值例3某运动员投篮命中率为P＝0.8.(1)求一次投篮时命中次数ξ的期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的期望．第28页【思路】根据题意，ξ服从两点分布，η服从二项分布，由相应公式可得ξ、η的期望值．第29页【解析】(1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为ξ01P0.20.8，则E(ξ)＝0.8.(2)由题意，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B(5，0.8)，则E(η)＝np＝5×0.8＝4.第30页探究3解这类题的关键要准确判断变量是否服从二项分布、两点分布．第31页◎思考题3在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？第32页【解析】显然这里的得分X服从参数p＝0.7的二点分布，∴E(X)＝0.7.故他罚球1次的得分X的均值为0.7.第33页题型四二项分布的均值例4一份数学模拟试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每题选对正确答案得4分，不做选择或选错不得分，满分100分．张强选对任一题的概率为0.8，求他在这次数学测验中的成绩的期望．第34页【解析】张强在数学测验中选择了正确答案的选择题的个数服从二项分布X～B(25，0.8)，其数学期望可有简便算法．设张强做对选择题的个数为X，则X～B(25，0.8)，所以E(X)＝np＝25×0.8＝20.因为答对每题得4分，所以张强在这次数学测验中的成绩为4X，其成绩的期望值为E(4X)＝4E(X)＝4×20＝80.第35页探究4本例中，利用二项分布的均值公式E(X)＝np快速地求出所求的期望值，当n的值越大时，这一公式更加显得威力无比，因此我们要熟练掌握这一公式，并能灵活地运用它，在运用时，需要注意的是，只有随机变量X服从二项分布时，才能运用该公式来求均值．第36页◎思考题4某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间内来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问寻呼台能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少份礼品？第37页【思路】可能来多少人，是一个随机变量．由于每人是否去领奖，相互间是独立的，因而随机变量服从二项分布，用数学期望来反映平均领奖人数，即能说明是否可行．第38页【解析】设来领奖的人数ξ＝k(k＝0，1，…，3000)，所以P(ξ＝k)＝C3000k(0.04)k(1－0.04)3000－k，则ξ～B(3000，0.04)，那么E(ξ)＝3000×0.04＝120(人)100(人)．答：寻呼台至少应准备120份礼品．第39页课后巩固第40页1．若随机变量X服从二项分布B(4，13)，则E(X)的值为()A.43B.83C.133D.89答案A解析E(X)＝4×13＝43.第41页2．已知η＝2ξ＋3，且E(ξ)＝35，则E(η)＝()A.35B.65C.215D.125答案C解析E(η)＝E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝2×35＋3＝215.第42页3．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望是()A.13B.23C.43D.34答案B解析由题意知ξ～B(2，13)，∴E(ξ)＝2×13＝23.第43页4．由于电脑故障，使得随机变量ξ的分布列中部分数据丢失(以□代替)，其表如下.ξ123456P0.200.100.□50.100.1□0.20则随机变量的数学期望为__________．第44页答案3.5解析随机变量分布列中各概率之和恒为1.故P(ξ＝5)＝0.15，进而P(ξ＝3)＝0.25.∴E(ξ)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.20＝3.5.∴填3.5.第45页5．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为23，求此人试验次数ξ的期望．第46页解析试验次数ξ的可能取值为ξ＝1，2，3，且P(ξ＝1)＝23，P(ξ＝2)＝13×23＝29，P(ξ＝3)＝13×13×(23＋13)＝19.所以ξ的分布列为：ξ123P232919∴E(ξ)＝139.第47页