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第1页§1离散型随机变量及其分布列第二课时离散型随机变量的分布列第2页1．离散型随机变量的分布列(1)分布列的定义．设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．第3页(2)分布列的性质．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：①pi≥0，(i＝1，2，3，…，n)；②i＝1npi＝1．第4页2．两个特殊分布列(1)两点分布列．X01P1－pp如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称P(X＝1)＝p为成功概率．第5页(2)超几何分布列．在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CMkCN－Mn－kCNn，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.第6页称分布列X01…mPCM0CN－Mn－0CNnCM1CN－Mn－1CNn…CMmCN－Mn－mCNn为超几何分布列．此时称随机变量X服从超几何分布.第7页1．对离散型随机变量分布列的三点说明(1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础．(2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．(3)离散型随机变量可以用分布列、解析式、图像表示．第8页2．离散型随机变量分布列的性质的作用(1)检查写出的分布列是否正确．(2)在求分布列中的某些参数时，可利用其概率和为1这一条件列出方程求出参数．第9页3．两点分布的适用范围及对其的两点说明(1)适用范围：①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律；②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．第10页(2)说明：①两点分布又称0～1分布或伯努利分布；②两点分布反映随机试验的结果只有两种可能且其概率之和为1.第11页4．超几何分布的理解(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．第12页课时学案第13页题型一求离散型随机变量的分布列例1一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列．【思路】由于任取三只球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是3，4，5，可以利用组合的方法计算其概率．第14页【解析】随机变量ξ的可能取值为3，4，5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两球的编号只能是1，2，故有P(ξ＝3)＝C33C53＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两球只能在编号为1，2，3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C32C53＝310；第15页当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两球只能在编号为1，2，3，4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C42C53＝610＝35.因此，ξ的分布列为ξ345P11031035第16页探究1求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)找出随机变量所有的可能值Xi(i＝1，2，3，…，n)；(2)求出相应的概率P(X＝Xi)＝Pi(i＝1，2，3，…，n)；(3)列成表格形式．解决此类问题的关键是根据题设条件找到X的可能取值，再利用概率的有关知识求出相应的概率，最后根据分布列的定义写出分布列并利用性质检验分布列的正确性．第17页◎思考题1将一颗骰子掷两次，求出两次掷出的最大点数X的分布列．【解析】将一颗骰子连掷两次共出现6×6＝36种等可能的基本事件，其最大点数X可能取的值为1，2，3，4，5，6.P(X＝1)＝136，X＝2包含三个基本事件(1，2)，(2，1)，(2，2)，(x，y)表示第一枚骰子点数为x，第二枚骰子点数为y.第18页P(X＝2)＝336＝112，同理可求，P(X＝3)＝536，P(X＝4)＝736，P(X＝5)＝14，P(X＝6)＝1136，∴X的分布列为X123456P136112536736141136第19页题型二离散型随机变量分布列的性质例2设随机变量ξ的分布列P(ξ＝k5)＝ak(k＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a的值；(2)求P(ξ≥35)；(3)求P(110ξ710)．第20页【思路】(1)利用分布列各概率和为1求a；(2)利用互斥(或对应)事件的概率公式求(2)、(3)的概率．第21页【解析】由已知分布列为：ξ1525354555Pa2a3a4a5a(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝115.第22页(2)P(ξ≥35)＝P(ξ＝35)＋P(ξ＝45)＋P(ξ＝1)＝315＋415＋515＝45，或P(ξ≥35)＝1－P(ξ≤25)＝1－(115＋215)＝45.(3)因为110ξ710只有ξ＝15，25，35满足，故P(110ξ710)＝P(ξ＝15)＋P(ξ＝25)＋P(ξ＝35)＝115＋215＋315＝25.第23页探究2要充分注意到分布列的两条重要的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.它是离散型随机变量的分布列所必须要遵循的原则．第24页◎思考题2若离散型随机变量X的分布列为X01P9c2－c3－8c试求出常数c的值．第25页【解析】由离散型随机变量分布列的性质，可知9c2－c＋3－8c＝1，0≤9c2－c≤1，0≤3－8c≤1，解得c＝13.第26页题型三两点分布问题例3一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球，记X＝0（两球全红），1（两球非全红），求X的分布列．第27页【思路】由X＝0（两球全红），1（两球非全红）可知随机变量X服从两点分布．第28页【解析】因为X服从两点分布，则P(X＝0)＝C62C112＝311，P(X＝1)＝1－311＝811.X的分布列为X10P811311第29页探究3两点分布中只有两个对应的结果，随机变量的取值必须是0与1，否则，不是两点分布．第30页◎思考题3若随机变量X只能取两个值x1和x2，又知ξ取x1的概率是取x2的概率的3倍，写出ξ的分布列，并说明是不是两点分布？第31页【思路】显然由题意知，X的分布列为ξx1x2Pp1p2p1＝3p2，再由分布列的性质，求出p1，p2的大小．第32页【解析】由分布列的性质知P(ξ＝x1)＋P(ξ＝x2)＝1，又由已知，P(ξ＝x1)＝3P(ξ＝x2)，∴4P(ξ＝x2)＝1，∴P(ξ＝x2)＝14.∴P(ξ＝x1)＝34.故ξ的概率分布为Xx1x2P3414它不是两点分布．第33页课后巩固第34页1．如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题是假命题的是()A．X取每个可能值的概率是非负数；B．X取所有可能值的概率之和为1；C．X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D．X取某2个可能值的概率大于分别取其中每个值的概率之和．第35页答案D解析在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值表示的事件是彼此互斥的，由概率加法公式知D是错误的．第36页2．设离散型随机变量X的分布列为X－10123P110151101525则下列各式成立的是()A．P(X＝1.5)＝0B．P(X－1)＝1C．P(X3)＝1D．P(X0)＝0第37页答案A解析∵{X＝1.5}事件不存在，故P(X＝1.5)＝0.第38页3．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：ξ－101P121－2qq2，则q的值为()A．1B．1±22C．1＋22D．1－22第39页答案D解析q满足：12＋1－2q＋q2＝1，即2q2－4q＋1＝0，解得q＝1±22，∵0≤q≤1，∴q＝1－22.第40页4．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc，其中a、b、c成等差数列，则P(|ξ|＝1)等于()A.13B.14C.12D.23第41页答案D第42页5．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？第43页解析以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为P(X≤1)，即P(X≤1)＝C20C485C505＋C21C484C505＝243245.答：该批产品被接收的概率是243245(约为0.99184)．第44页