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第1页第二章随机变量及其分布第2页§1离散型随机变量及其分布列第一课时离散型随机变量第3页1．随机变量(1)定义：随着试验结果变化而变化的变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η表示．2．离散型随机变量离散型随机变量X的取值特点是：所有可能的取值都能一一列举出来．第4页1．试验与随机试验凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验，一个试验如果满足下述条件：(1)试验可以在相同的情形下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．它就被称为一个随机试验．第5页2．随机变量(1)随机变量的定义．在随机试验的结果与实数之间，自然地或人为地建立起一种对应关系，使每一个可能的结果都对应着一个实数，那么随机试验的结果就可以用取值为这些实数的一个变量来表示，这个变量叫随机变量，随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η等表示．第6页(2)离散型随机变量．如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(3)若ξ是一个随机变量，a、b是常数，则η＝aξ＋b也是一个随机变量．注意掌握这一点，对于某些问题的解决往往会有比较直接的帮助．一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f(ξ)也是随机变量．也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量．第7页3．随机变量的理解随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数，但这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．第8页课时学案第9页题型一随机变量的概念例1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(3)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(4)某个人的属相随年龄的变化．第10页【解析】(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．第11页(3)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(4)属相是人出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．第12页探究1解答本类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．第13页◎思考题1将一颗骰子掷两次，不能作为随机变量的是()A．两次点数之和B．两次点数差的绝对值C．两次的最大点数D．两次的点数【答案】D第14页题型二离散型随机变量的判定例2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：(1)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；第15页(3)郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，而其中某一电线铁塔的编号ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.第16页【思路】根据离散型随机变量的特点：有限性与确定性去判断．【解析】(1)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，因此是随机变量．第17页(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型的变量．(3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出．(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0，29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．第18页【点评】解答此类问题的关键是掌握离散型随机变量的关键点是可以“一一罗列出”，这就说明试验的结果是有限的，这点是区别于非离散型随机变量的关键．第19页探究2离散型随机变量和连续型随机变量都是用来刻画随机试验所出现的结果的，它们的区别是：对于离散型随机变量，能将它的可能取值按次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法对其中的值一一列举．第20页◎思考题2判断下列变量是不是随机变量，如果是，判断该随机变量是不是离散型随机变量．(1)2013年世乒赛，从开幕到闭幕的总天数；(2)京广高速公路某收费站在一天内经过的车辆数；(3)北京市在国庆节这一天的温度数；(4)某小朋友在明天一天内的洗手次数．第21页【解析】(1)从开幕到闭幕的总天数是一个常数，因而不是随机变量．(2)(3)(4)中的变量都是随机变量．由于(2)(4)中的变量是可以一一列出的，所以(2)(4)中的变量是离散型随机变量．(3)中变量(温度数)可以是国庆节当天最低温度和最高温度组成的温度区间内的任何一个数值，是不可以一一列出的，故不是离散型随机变量．第22页题型三随机变量的取值及表示的事件例3写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数Y.第23页【解析】(1)X的可能取值为1，2，3，…，10，X＝k(k＝1，2，…，10)表示取出编号为k号的球．(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0，1，2，3，4.第24页(3)若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，X的可能取值为2，3，4，…，12，则X＝2表示(1，1)；X＝3表示(1，2)，(2，1)；X＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…X＝12表示(6，6)．第25页Y的可能取值为2，4，6，8，10，12.Y＝2表示(1，1)；Y＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…Y＝12表示(6，6)．第26页探究3随机变量把随机试验的结果映为实数．试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．第27页◎思考题3抛掷两枚骰子，所得点数之积记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是()A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是4点C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是4点，或者2枚都是2点第28页【解析】抛掷两枚骰子，其中一枚是x点，另一枚是y点，其中x，y＝1，2，…，6，而ξ＝x×y，ξ＝4⇒x＝1，y＝4或x＝4，y＝1或x＝2，y＝2.【答案】D第29页课后巩固第30页1．袋中有2个黑球，6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率第31页答案B解析A项的取值不具有随机性，C项是一个事件而非随机变量，D项中概率值是一个定值而非随机变量，只有B项满足要求．第32页2．有以下三个随机变量，其中离散型随机变量的个数是()①某热线部门1分钟内接到咨询的次数ξ是一个随机变量；②一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置是一个随机变量；③某人射击一次中靶的环数ξ是一个随机变量．A．1B．2C．3D．0第33页答案B解析①③是离散型随机变量，②不是离散型随机变量，因为其取值是无限的，不能一一列举出来．第34页3．某人射击的命中率为p(0p1)，他向一目标射击，射中目标则停止射击，射击次数的取值是()A．1，2，3，…，nB．1，2，3，…，n，…C．0，1，2，…，nD．0，1，2，…，n，…答案B第35页4．在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是________．答案0，1，2，3解析可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．第36页5．小王钱夹中只剩有50元、20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．第37页解析X的可能取值为6，11，15，21，25，30，51，55，60，70.其中，X＝6，表示抽到的是1元和5元；X＝11，表示抽到的是1元和10元；X＝15，表示抽到的是5元和10元；X＝21，表示抽到的是1元和20元；X＝25，表示抽到的是5元和20元；X＝30，表示抽到的是10元和20元；第38页X＝51，表示抽到的是1元和50元；X＝55，表示抽到的是5元和50元；X＝60，表示抽到的是10元和50元；X＝70，表示抽到的是20元和50元．第39页