2019-2020学年高中数学 第二章 概率 1 离散型随机变量及其分布列课件 北师大版选修2-3

[自主梳理]一、随机变量的概念及其表示1．随机变量的定义将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都_______________，这种对应称为一个随机变量．2．随机变量通常用大写的英文字母，如________来表示．对应于一个数X，Y二、离散型随机变量1．定义随机变量的取值能够_______________，这样的随机变量称为离散型随机变量．2．性质(1)pi0；(2)p1＋p2＋…＝1.三、离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，(1)一一列举出来或把上式列成表：X＝aia1a2…P(X＝ai)p1p2…上表或(1)式称为离散型随机变量X的分布列．[双基自测]1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率C解析：对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．2．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是()A.X101P141214B.X012P－143412C.X012P152535D.X－101P141412D解析：A中，X的取值出现了重复性；B中，P(X＝0)＝－14＜0；C中，15＋25＋35＝65＞1；D中，14＋14＋12＝1，故选D.3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的试验结果是()A．一枚是3点，一枚是1点B．两枚都是2点C．两枚都是4点D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点D探究一离散型随机变量的判定[例1]指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：(1)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；(3)郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，而其中某一电线铁塔的编号ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29](dm)这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.[解析](1)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，因此是离散型随机变量．(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出．(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29](dm)这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．离散型随机变量的两个特点(1)试验结果是随机的；(2)试验结果可按一定顺序一一列出．1．下列变量中属于离散型随机变量的有________．①在2016张已编号的卡片(从1号到2016号)中任取一张，被取出的编号数为X；②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；③从2016张已编号的卡片(从1号到2016号)中任取3张，被取出的卡片的号数和X；④一天之内的温度的取值X；⑤投掷一个骰子，六面都刻上数字6，所得的点数X.解析：①②③中变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，④中X的取值为某一范围内的实数，无法列出，不是离散型随机变量，⑤中X的取值确定，是6，不是随机变量．答案：①②③探究二求离散型随机变量的分布列[例2]一个口袋里有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，从中同时取出3个球，以X表示取出的球的最小编号，求随机变量X的概率分布．[解析]X所有可能的取值为1,2,3.当X＝1时，其余两球可在余下的4个球中任意选取，∴P(X＝1)＝C24C35＝35；当X＝2时，其余两球在编号为3,4,5的球中任意选取，∴P(X＝2)＝C23C35＝310；当X＝3时，取出的球只能是编号为3,4,5的球，∴P(X＝3)＝1C35＝110.∴随机变量的概率分布为：X123P35310110(1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合知识求出X取每个值的概率，最后列出分布列．(2)求离散型随机变量X的分布列的步骤：首先确定X的所有可能的取值；其次，求相应的概率P(X＝xi)＝pi；最后列成表格的形式．2．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止．求取球次数X的分布列．解析：X的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝15，第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝45×14＝15，第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝45×34×13＝15，第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝45×34×23×12＝15，第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝45×34×23×12×11＝15.所以X的分布列是：X12345P1515151515探究三离散型随机变量分布列的性质的应用[例3]设随机变量X的概率分布为P(X＝k5)＝ak(k＝1,2,3,4,5).(1)求常数a的值；(2)求P(X≥35)；(3)求P(110＜X＜710)．[解析]题目所给随机变量X的概率分布为：X1525354555Pa2a3a4a5a(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝115.(2)解法一P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝55)＝315＋415＋515＝45.解法二P(X≥35)＝1－P(X≤25)＝1－(115＋215)＝45.(3)因为110＜X＜710，所以X＝15，25，35.故P(110＜X＜710)＝P(X＝15)＋P(X＝25)＋P(X＝35)＝115＋215＋315＝25.利用分布列的性质解题时要注意的两个问题(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)p1＋p2＋…＝1，且pi＞0，i＝1,2….3．设随机变量η的分布列为：η－123P141214试计算事件(η≤12)和(32≤η≤72)的概率．解析：因为事件(η≤12)只包含基本事件(η＝－1)，故P(η≤12)＝P(η＝－1)＝14.同理，事件(32≤η≤72)包含基本事件(η＝2)和(η＝3)，所以P(32≤η≤72)＝P(η＝2)＋P(η＝3)＝12＋14＝34.随机变量分布列的综合应用[典例](本题满分12分)一盒中有9个正品零件和3个次品零件，每次取出1个零件．如果取出的是次品零件，则不再放回．求在取得正品零件前已取出的次品数X的分布列，并求PX≤52的值．[解]随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.…………………………………………………………2分X＝0表示第一次取到正品．则P(X＝0)＝C19C112＝34.…………………………………………………………4分X＝1表示第一次取到次品，第二次取到正品．则P(X＝1)＝A13C19A212＝944.同理求得P(X＝2)＝A23C19A312＝9220，P(X＝3)＝A33C19A412＝1220.因此随机变量X的分布列为X0123P3494492201220…………………………………………………………10分故PX≤52＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝34＋944＋9220＝219220.……………………………………12分[规范与警示]1.在处，准确地写出随机变量X的所有取值，是解决本题的关键点．若对题意理解不清，在处会误解为C13C19C312，是解决本题的易失分点；若对题意理解不清，在处会误解为C23C19A312，是解决本题的又一易失分点．2．防范措施：在确定随机变量X的所有可能取值时要全面考虑，不可漏解．如本例中易忽视X＝0的情形．设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；(2)求X的分布列．解析：(1)由题意知，设基本事件空间为Ω，记“方程x2＋bx＋c＝0没有实根”为事件A，“方程x2＋bx＋c＝0有且仅有一个实根”为事件B，“方程x2＋bx＋c＝0有两个相异实根”为事件C，则Ω＝{(b，c)|b，c＝1,2，…6}，A＝{(b，c)|b2－4c＜0，b，c＝1,2，…，6}，B＝{(b，c)|b2－4c＝0，b，c＝1,2，…，6}，C＝{(b，c)|b2－4c＞0，b，c＝1,2，…，6}，所以Ω中的基本事件总数为36，A中的基本事件总数为17，B中的基本事件总数为2，C中的基本事件总数为17.又因为B，C是互斥事件，故所求概率P＝P(B)＋P(C)＝236＋1736＝1936.(2)由题意，X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝1736，P(X＝1)＝118，P(X＝2)＝1736，故X的分布列为X012P17361181736