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第1页§4平摆线和渐开线第2页知识探究第3页1.平摆线(1)平摆线的定义：一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线，又叫旋轮线．第4页(2)平摆线的参数方程：取点M的初时位置O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴，圆滚动的方向为正方向，建立平面直角坐标系．设圆N的半径为r，圆在x轴上滚动，取圆转动的角度α为参数，得平摆线的参数方程x＝r（α－sinα）y＝r（1－cosα）(－∞α＋∞)．第5页当圆滚动半周时，点M到达最高点(πr，2r)，当圆滚动一周时，平摆线出现一个周期，即平摆线的周期为2πr，拱高为2r．第6页2．渐开线(1)圆的渐开线的定义：把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，绳的拉直部分和圆保持相切，此时铅笔尖画了一条曲线，这条曲线叫作圆的渐开线．其中这个圆叫作渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程是错误！(φ为参数)．其中r是基圆的半径．圆心在原点，动点的初时位置的坐标为(r，0)．第7页对于同一个基圆，存在两条渐开线，它们关于x轴对称(如图所示)．第8页课时学案第9页题型一求平摆线的参数方程例1已知一个圆的平摆线过一定点(1，0)，请写出该平摆线的参数方程．【解析】设所求平摆线的参数方程为x＝r（φ－sinφ），y＝r（1－cosφ）(φ为参数)令r(1－cosφ)＝0可得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)代入可得x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1.第10页所以r＝12kπ.又r0.所以，应有k0且k∈Z，即k∈N＋.所以，所求平摆线的参数方程是x＝12kπ（φ－sinφ），y＝12kπ（1－cosφ）(φ为参数)(其中k∈N＋)．第11页探究1根据圆的平摆线的参数方程x＝r（φ－sinφ），y＝r（1－cosφ）(φ为参数)，可知只需求出其中的半径r.圆的平摆线的参数方程即可写出，也就是说圆的平摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的．第12页思考题1半径为2的圆的平摆线的参数方程为________．第13页【解析】根据平摆线的定义，设圆上任意一点M(x，y)，取点M的初始位置为点O，建立直角坐标系，易知参数方程为x＝2（θ－sinθ），y＝2（1－cosθ）(θ为参数)．【答案】x＝2（θ－sinθ），y＝2（1－cosθ），(θ为参数)第14页题型二圆的渐开线方程例2已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数值分别是π2和3π2，求A，B两点间的距离．【思路】渐开线的参数方程――→代入参数A，B两点的坐标――→距离公式A，B两点间的距离第15页【解析】由题意知r＝1，则圆的渐开线参数方程为x＝cosφ＋φsinφ，y＝sinφ－φcosφ(φ为参数)．当φ＝π2时，x＝cosπ2＋π2sinπ2＝π2，y＝sinπ2－π2cosπ2＝1，所以A(π2，1)．第16页当φ＝3π2时，x＝cos3π2＋3π2sin3π2＝－3π2，y＝sin3π2－3π2cos3π2＝－1，所以B(－3π2，－1)．所以|AB|＝（π2＋3π2）2＋（1＋1）2＝2π2＋1.第17页思考题2直径为8的圆的渐开线方程为________．【解析】x＝4（cosθ＋θsinθ），y＝4（sinθ－θcosθ）(θ为参数)第18页课后巩固第19页1．圆的渐开线方程为x＝2（cosφ＋φsinφ），y＝2（sinφ－φcosφ）(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上对应的点的坐标为()A．(－2，2π)B．(－2，π)C．(4，2π)D．(－4，2π)第20页答案A解析把φ＝π代入渐开线方程，得x＝2(cosπ＋πsinπ)＝－2，y＝2(sinπ－πcosπ)＝2π.故对应点的坐标为(－2，2π)．第21页2．已知一个圆的平摆线方程是x＝4θ－4sinθ，y＝4－4cosθ(θ为参数)，则该圆的面积是()A．6πB．12πC．16πD．32π答案C解析因为圆的半径r＝4，所以S＝16π.选C.第22页3．已知平摆线方程是x＝2φ－2sinφ，y＝2－2cosφ(φ为参数)，则平摆线的拱高为________．答案4解析圆的半径r＝2，所以拱高2r＝4.第23页4．已知圆的半径为3，圆心在原点，动点的初时位置在x轴正半轴上，则圆的渐开线方程为________．答案x＝3（cosφ＋φsinφ），y＝3（sinφ－φcosφ）(φ为参数)第24页5．圆的渐开线x＝2（cost＋tsint），y＝2（sint－tcost）(t为参数)上与t＝π4对应的点的直角坐标为________．第25页答案(1＋π4，1－π4)解析t＝π4时x＝2(cosπ4＋π4sinπ4)＝1＋π4，y＝2(sinπ4－π4cosπ4)＝1－π4.第26页