2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 平面与平面平行的性

2.2.4平面与平面平行的性质目标导航课标要求1.理解平面与平面平行的性质定理的含义.2.能用三种语言准确描述平面与平面平行的性质定理.3.能用平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题.素养达成通过对平面与平面平行性质定理的学习,培养学生的空间想象能力和思维能力,体会类比的作用,渗透等价转化的思想.新知导学·素养养成平面与平面平行的性质定理a∥b文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线.符号语言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒.图形语言作用证明两直线平行平行思考1:若两个平面互相平行,则其中一个平面内的直线与另一个平面什么关系?与另一个平面内的直线又有何关系?答案:若两个平面平行,其中一个平面内的直线与另一个平面平行;与另一个平面内的直线平行或异面.思考2:平行于同一个平面的两个平面什么关系?答案:平行.名师点津(1)已知两个平面平行,虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面,但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行,它们可能是平行直线,也可能是异面直线,但不可能是相交直线.(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法,应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面.课堂探究·素养提升题型一面面平行性质定理的应用[例1](2018·河南林州一中高一检测)如图所示,两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别交于B,A和D,C,M,N分别是AB,CD的中点.求证:MN∥平面α.证明:过A作AE∥CD交平面α于点E,取AE的中点P,连接MP,PN,BE,ED,AC.因为AE∥CD,所以AE,CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩α=DE,平面AEDC∩β=AC.因为α∥β,所以AC∥DE.又因为P,N分别为AE,CD的中点,所以PN∥DE.因为PNα,DEα,所以PN∥α.又因为M,P分别为AB,AE的中点,所以MP∥BE.又因为MPα,BEα,所以MP∥α.因为MP,PN⊂平面MPN,且MP∩PN=P,所以平面MPN∥α.又因为MN⊂平面MPN,所以MN∥平面α.方法技巧(1)利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤:①先找两个平面,使这两个平面分别经过这两条直线中的一条;②判定这两个平面平行;③再找一个平面,使这两条直线都在这个平面上;④由性质定理得出线线平行.(2)应用面面平行的性质定理时,往往需要“作”或“找”辅助平面,但辅助平面不可乱作,要想办法与其他已知量联系起来.即时训练1-1:如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.求证:N为AC的中点.证明:因为平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,所以C1N∥AM,又AC∥A1C1,所以四边形ANC1M为平行四边形,所以AN∥C1M且AN=C1M,又C1M=12A1C1,A1C1=AC,所以AN=12AC,所以N为AC的中点.题型二平行关系的综合应用[例2]如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E.求证:EC∥A1D.证明:因为BE∥AA1,AA1⊂平面AA1D,BE⊄平面AA1D,所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD,AD⊂平面AA1D,BC⊄平面AA1D,所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC=B,BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,所以EC∥A1D.方法技巧要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时,一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.具体转化过程如图所示:即时训练2-1:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,点E在AB1上,点F在BD上,且B1E=BF.求证:EF∥平面BB1C1C.证明:如图所示.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过F作FM∥AD,交AB于点M,连接ME,则BFFD=BMMA.因为BD=AB1,BF=B1E,所以1BEEA=BFFD,所以BMMA=1BEEA,所以ME∥BB1.因为ME⊄平面BB1C1C,BB1⊂平面BB1C1C,所以ME∥平面BB1C1C.由FM∥AD,AD∥BC,知FM∥BC.而FM⊄平面BB1C1C,BC⊂平面BB1C1C,所以FM∥平面BB1C1C.因为FM∩ME=M.所以平面MEF∥平面BB1C1C.因为EF⊂平面MEF,所以EF∥平面BB1C1C.课堂达标1.已知平面α∥平面β,a⊂α,b⊂β,则直线a,b的位置关系是()(A)平行(B)相交(C)异面(D)平行或异面D解析:因为平面α∥平面β,所以平面α与平面β没有公共点.因为a⊂α,b⊂β,所以直线a,b没有公共点,所以直线a,b的位置关系是平行或异面.2.若平面α∥平面β,直线a⊂α,点B∈β,过点B的所有直线中()(A)不一定存在与a平行的直线(B)只有两条与a平行的直线(C)存在无数条与a平行的直线(D)有且只有一条与a平行的直线D解析:因为α∥β,B∈β,aα,所以Ba,所以点B与直线a确定一个平面γ,因为γ与β有一个公共点B,所以γ与β有且仅有一条经过点B的直线b,因为α∥β,所以a∥b.故选D.3.过两平行平面α,β外的点P的两条直线AB与CD,它们分别交α于A,C两点,交β于B,D两点,若PA=6,AC=9,PB=8,则BD的长为.解析:两条直线AB与CD相交于P点,所以可以确定一个平面,此平面与两平行平面α,β的交线AC∥BD,所以PAPB=ACBD,又PA=6,AC=9,PB=8,故BD=12.答案:124.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.解析:因为平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH的形状是平行四边形.答案:平行四边形