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2.2.3直线与平面平行的性质目标导航课标要求1.理解直线与平面平行的性质定理的含义.2.能用三种语言准确描述直线与平面平行的性质定理.3.能用直线与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题.素养达成通过对直线与平面平行性质定理的学习,培养学生空间想象能力和思维能力,体会类比的作用,渗透等价转化的思想.新知导学·素养养成直线与平面平行的性质定理自然语言一条直线与一个平面,则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线.符号语言,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行平行交线平行a∥α思考:若直线a∥平面α,则直线a与平面α内的直线有怎样的位置关系?答案:平行或异面.名师点津直线与平面平行的性质定理中有三个条件:①直线a和平面α平行,即a∥α;②直线a在平面β内,即a⊂β;③平面α,β相交,即α∩β=b.三个条件缺一不可.课堂探究·素养提升题型一直线与平面平行的性质定理的理解[例1]已知直线m,n及平面α,β,有下列关系:①m,n⊂β;②n⊂α;③m∥α;④m∥n.现把其中的一些关系看做条件,另一些看做结论,可以组成的正确推论是.(只写出一种情况即可)解析:结合线面平行的性质定理,可知①②③⇒④.结合线面平行的判定定理,可知①②④⇒③.答案:①②③⇒④(或①②④⇒③)题型二直线与平面平行的性质定理的应用[例2](12分)如图,P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作平面,交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.规范解答:如图,连接AC,交BD于点O,连接MO.…………2分因为四边形ABCD是平行四边形,所以点O是AC的中点.又因为点M是PC的中点,所以AP∥OM.……………………………………………6分又因为AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,所以AP∥平面BDM.………………………………………9分因为平面PAHG∩平面BDM=GH,AP⊂平面PAHG,所以AP∥GH.………………………………………………12分一题多变:(1)本例中,若平面PAD∩平面PBC=l,试证明:BC∥l;(1)证明:法一因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l.法二因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD=l,所以l∥AD,l∥BC.(2)本例中,若AB中点为N,证明:MN∥平面PAD.(2)证明:取PD的中点E,连接AE,ME,可以证得ME∥AN且ME=AN.所以四边形ANME为平行四边形.所以MN∥AE,又因为MN⊄平面APD,AE⊂平面APD,所以MN∥平面PAD.误区警示(1)欲证线线平行可转化为线面平行解决,常与判定定理结合使用;(2)性质定理中有三个条件,缺一不可,主要平行关系的寻求,常利用中位线性质.(3)做辅助线常用技巧:“由中点想中点,中点——中点——中位线”.课堂达标1.下列命题正确的是()(A)若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则直线a∥直线b(B)若直线a∥平面α,直线a与直线b相交,则直线b与平面α相交(C)若直线a∥平面α,直线a∥直线b,则直线b∥平面α(D)若直线a∥平面α,则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点D解析:A中,直线a与直线b也可能异面、相交,所以不正确;B中,直线b也可能与平面α平行,所以不正确;C中,直线b也可能在平面α内,所以不正确;根据直线与平面平行的定义知D正确,故选D.2.已知:α∩β=b,a∥α,a∥β,则a与b的位置关系是()(A)a∥b(B)a⊥b(C)a,b相交但不垂直(D)a,b异面A解析:设过a的平面γ,η,且α∩γ=m,β∩η=n,则a∥m,a∥n,得m∥n,m∥β,所以m∥b,则a∥b.故选A.3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面BA1C1与直线AC的位置关系是()(A)AC∥截面BA1C1(B)AC与截面BA1C1相交(C)AC在截面BA1C1内(D)以上答案都错误A解析:因为AC∥A1C1,又因为AC⊄平面BA1C1,所以AC∥平面BA1C1.故选A.4.如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则()(A)GH∥SA(B)GH∥SD(C)GH∥SC(D)以上均有可能B解析:因为GH∥平面SCD,GH⊂平面SBD,平面SBD∩平面SCD=SD,所以GH∥SD,显然GH与SA,SC均不平行,故选B.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于.解析:因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又点E为AD的中点,点F在CD上,所以点F是CD的中点,所以EF=12AC=2.答案:2