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知识导图学法指导学习本节知识的过程中，一方面要把握好性质定理的条件(切不可漏掉某个条件)和结论，根据结论来找条件；另一方面要熟练掌握平行关系的转化，根据题目的条件和结论，巧妙地实现线线平行、线面平行和面面平行之间的相互转化．高考导航本节知识在高考中若出现在选择题、填空题中，则难度不大，分值5分；若出现在解答题中，则常利用线面平行、面面平行的性质定理得到线线平行，再进一步证明其他问题.知识点一直线与平面平行的性质文字语言一条直线与一个平面平行，则__________的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α______________⇒a∥b图形语言a⊂βα∩β＝b过这条直线定理中有三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.三个条件缺一不可．知识点二平面与平面平行的性质文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面____，那么它们的交线____符号语言α∥β________________⇒a∥b图形语言相交平行α∩γ＝aβ∩γ＝b1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．2．该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.()(2)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．()(3)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.()×√√2．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB＝AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.异面解析：因为AD∶DB＝AE∶EC，所以DE∥BC，又DE⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.答案：A3．过平面外一条直线作已知平面的平行平面()A．必定可以并且可以作一个B．至少可以作一个C．至多可以作一个D．一定不能作解析：直线与平面相交时，平行的平面不存在；直线与平面平行时，平行的平面唯一．答案：C4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．解析：由线面平行的性质得，AB∥CD，AB∥EF，由公理4得CD∥EF.答案：平行类型一线面平行的性质定理的应用例1如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PC的中点，在DE上任取一点F，过点F和AP作平面PAGF交平面BDE于FG，求证：AP∥GF.【证明】如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴点O是AC的中点，又E是PC的中点，∴AP∥OE.∵AP⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AP⊂面PAGF，AP∥平面BDE.∵平面PAGF∩平面BDE＝GF，∴AP∥GF.要证AP∥GF，根据线面平行的性质定理，只需证AP∥平面BDE，即只需证AP与平面BDE内的某一条直线平行．方法归纳(1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．跟踪训练1如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形．AB∥平面MNPQ，CD∥平面MNPQ→MN∥PQ，NP∥MQ→四边形MNPQ是平行四边形类型二面面平行性质定理的应用例2如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．【解析】直线a，b的位置关系是平行．如图所示，连接DD′.∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴A′D′∥a.同理可证AD∥b.又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，∴DD′綊BB′，又BB′綊AA′，∴DD′綊AA′，∴四边形AA′D′D为平行四边形，∴A′D′∥AD，∴a∥b.由ABC－A′B′C′为三棱柱，得平面ABC∥平面A′B′C′，若第三个平面与它们相交，则交线平行．方法归纳面面平行性质定理的两个主要应用(1)证明线线平行：利用面面平行的性质定理推出线线平行．(2)判断线面平行：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．跟踪训练2如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.证明：因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.因为BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又因为平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.线线平行⇒线面平行⇒面面平行⇒线线平行．类型三平行关系的综合应用例3如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.【解析】(1)法一如图，连接AC，CD1.因为P，Q分别是AD1，AC的中点，所以PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.法二取AD的中点G，连接PG，GQ，则有PG∥DD1，PG⊄平面DCC1D1，DD1⊂平面DCC1D1，所以PG∥平面DCC1D1，同理GQ∥平面DCC1D1，又PG∩GQ＝G，PG⊂平面DCC1D1，GQ⊂平面DCC1D1，所以平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ⊂平面PGQ，所以PQ∥平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQ＝12D1C＝22a.(3)法一取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1綊12B1C1.又BE綊12B1C1，所以BE綊FO1.所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1，又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.法二取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，FE1⊄平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D，所以PE1∥平面BB1D1D，同理EE1∥平面BB1D1D，又FE1∩EE1＝E1，所以平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.线面平行、面面平行的性质定理的应用，往往需要通过“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知条件联系起来．方法归纳(1)证明线面平行的方法有“线线平行⇒线面平行”或“线线平行⇒线面平行⇒面面平行⇒线面平行”．(2)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系相互联系、相互转化．跟踪训练3如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA＝3.F在棱PA上，且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PEED的值．解析：过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，所以EG∥平面BDF，又CE∥平面BDF，EG∩CE＝E，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，又CG⊂平面PAC，平面BDF∩平面PAC＝FO，所以FO∥CG.又O为AC中点，所以F为AG中点，所以FG＝GP＝1，所以E为PD中点，PE：ED＝：1.底面ABCD是平行四边形，CE∥平面BDF⇒构造辅助平面与平面BDF平行，线面平行的性质定理.