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2.2.2平面与平面平行的判定目标导航课标要求1.理解平面与平面平行的判定定理.2.能运用面面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.素养达成通过对平面与平面平行的判定定理的学习,培养学生的空间想象能力和空间问题平面化的思想.新知导学·素养养成平面与平面平行的判定两条相交直线表示位置图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的与另一个平面平行,则这两个平面平行ab⇒α∥βabPab思考1:(1)平面α内有无数条直线与平面β平行,α与β平行吗?(2)平面α内任一条直线与平面β平行,α与β平行吗?答案:(1)不一定.(2)平行.思考2:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行吗?答案:平行.名师点津(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的.(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想,即把面面平行转化为线面平行.课堂探究·素养提升题型一对面面平行判定定理的理解[例1](2018·哈尔滨六中高一期末)对于不重合的两个平面α和β,给定下列条件:①存在直线l,使得l⊥α,且l⊥β;②存在平面γ,使得α⊥γ且β⊥γ;③α内有不共线的三点到β的距离相等;④存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β其中,可以判定α与β平行的条件有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:①若α∥β时,存在直线l,若α与β不平行,则这样的直线不存在,所以①错误;②若α∥β时,存在平面γ,使得α⊥γ且β⊥γ,α与β不平行,相交时,只要交线垂直于γ时,也满足条件,所以②正确;③若α∥β时,α内有不共线的三点到β的距离相等,若α与β相交时,在交线的两侧也存在不共线的三点到β的距离相等,所以③正确;④若α∥β时,存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β,若α与β相交时,则不存在,所以④错误.故选B.方法技巧解决此类问题的关键有两点:(1)借助常见几何体进行分析,使得抽象问题具体化.(2)把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面”.解析:与无公共点与无公共点⇒α与β无公共点⇒α∥β.故选C.即时训练1-1:已知三个平面α,β,γ,一条直线l,要得到α∥β,必须满足下列条件中的()(A)l∥α,l∥β,且l∥γ(B)l⊂γ,且l∥α,l∥β(C)α∥γ,且β∥γ(D)l与α,β所成的角相等题型二平面与平面平行的判定[例2](12分)如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C;规范解答:(1)因为B1BDD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,………………1分所以B1D1∥BD,又BD⊄平面B1D1C,B1D1⊂平面B1D1C,所以BD∥平面B1D1C.………………………………2分同理A1D∥平面B1D1C.………………………………3分又A1D∩BD=D,所以平面A1BD∥平面B1D1C.………………………4分(2)若E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD.规范解答:(2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.…………………………5分取BB1的中点G,连接AG,GF,易得AE∥B1G,……………………………6分又因为AE=B1G,所以四边形AEB1G是平行四边形,……………………7分所以B1E∥AG.易得GF∥AD.……………………………………………8分又因为GF=AD,所以四边形ADFG是平行四边形,………………………………………9分所以AG∥DF,所以B1E∥DF,…………………………………………10分所以DF∥平面EB1D1.又因为BD∩DF=D,所以平面EB1D1∥平面FBD.…………………………………………12分一题多变:本例中,条件(2)分别改为(1)E,F分别是AA1与CC1上的点,且A1E=14A1A,问:F在何位置时,平面EB1D1∥平面FBD?解:(1)当F满足CF=14CC1时,两平面平行,下面给出证明:在D1D上取点M,且DM=14DD1,连接AM,FM,则AED1M,从而四边形AMD1E是平行四边形.所以D1E∥AM.同理,FMCD,又因为ABCD,所以FMAB,从而四边形FMAB是平行四边形.所以AM∥BF.即有D1E∥BF.又BF⊂平面FBD,D1E⊄平面FBD,所以D1E∥平面FBD.又B1BD1D,从而四边形BB1D1D是平行四边形.故而B1D1∥BD,又BD⊂平面FBD,B1D1⊄平面FBD,所以B1D1∥平面FBD,又D1E∩B1D1=D1,且在平面EB1D1内,从而平面EB1D1∥平面FBD.(2)E,F分别是AA1与CC1上的点,且A1E=λA1A(0λ1),问:11CFCC为何值时,平面EB1D1∥平面FBD?解:(2)当11CFCC=1-λ时,平面EB1D1∥平面FBD,证明:在DD1上取点M,使DM=λDD1,则D1M=(1-λ)DD1=AE,故D1MAE.以下证明过程与(1)相同.方法技巧线线平行线面平行面面平行要证明面面平行,由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行,又需根据线面平行的判定定理,在平面内找与已知直线平行的直线,即:[备用例题](2018·延安市高一期末)如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.(1)求证:BE∥平面DMF;证明:(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)求证:平面BDE∥平面MNG.证明:(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M为AB中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE∥平面MNG.课堂达标1.下列命题正确的是()①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.(A)①③(B)②④(C)②③④(D)③④D解析:如果两个平面没有任何一个公共点,那么我们就说这两个平面平行,也即是两个平面没有任何公共直线.对于①:一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,如果这两条直线不相交,而是平行,那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线.对于②:一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,同①.对于③:一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.这是两个平面平行的定义.对于④:一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.这是两个平面平行的判定定理.所以只有③④正确,故选D.2.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面的位置关系是()(A)一定平行(B)一定相交(C)平行或相交(D)以上判断都不对解析:可借助于长方体判断两平面对应平行或相交.故选C.C3.在正方体EFGHE1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是()(A)平面E1FG1与平面EGH1(B)平面FHG1与平面F1H1G(C)平面F1H1H与平面FHE1(D)平面E1HG1与平面EH1G解析:如图,因为EG∥E1G1,EG⊄平面E1FG1,E1G1⊂平面E1FG1,所以EG∥平面E1FG1,又G1F∥H1E,同理可证H1E∥平面E1FG1,又H1E∩EG=E,所以平面E1FG1∥平面EGH1.故选A.A4.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中:①BM∥平面ADNE;②CN∥平面ABFE;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中,正确命题的序号是.解析:以四边形ABCD为下底面还原正方体,如图,则易判定四个命题都是正确的.答案:①②③④