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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P44～P47，回答下列问题．(1)在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？提示：平行或相交．(2)若把立交桥抽象成直线，它们是否在同一平面内？有何特征？提示：不在同一平面．既不相交也不平行．(3)观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类似特征？提示：是．二、归纳总结·核心必记1．空间直线的位置关系(1)异面直线：不同在平面内的两条直线．(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．任何一个(3)空间两条直线的三种位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有_____公共点平行同一平面内，_____公共点异面不同在_____________内，_____公共点一个没有任何一个平面没有2．公理4及定理(1)公理4：平行于直线的两条直线互相．符号表示：a∥b，b∥c⇒.(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角．同一条平行a∥c相等或互补3．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间一点O作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的(或)．(2)范围：.特别地，当θ＝时，a与b互相垂直，记作.任意锐角直角0°＜θ≤90°90°a⊥b三、综合迁移·深化思维(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示：不一定．可能平行、相交或异面．(2)两条垂直的直线必相交吗？提示：不一定．可能相交垂直，也可能异面垂直．(3)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？提示：不一定．这两条直线可能平行、相交或异面．探究点一空间两条直线的位置关系[思考探究]观察下图中电线杆所在直线、电线所在直线的位置关系．(1)怎样理解异面直线？名师指津：对异面直线的理解：①异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．②注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线．例如，如图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线．2怎样认识异面直线所成的角？名师指津：对异面直线所成角的认识：①任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角或直角相等，而与点O的位置无关.,②转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算.3如何从公共点个数或是否共面的角度对空间两条直线分类？名师指津：①若从有无公共点的角度来看，可分为两类：②若从是否共面的角度看，也可分为两类：[典例精析](1)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定(2)如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是________．①EF与BB1垂直；②EF与BD垂直；③EF与CD异面；④EF与A1C1异面．[解析](1)构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C，选D.(2)连接A1B，∵E、F分别是AB1，BC1的中点，∴EF是△A1BC1的中位线，∴EF∥A1C1，故①②③正确．④错误．[答案](1)D(2)④[类题通法]1．判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[针对训练]1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．相交B．异面C．异面或相交D.平行解析：如图，有相交或异面两种情况．答案：C2．若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是________．解析：在正方体ABCDA′B′C′D′中，设直线D′C′为直线b，直线A′B′为直线a，满足a∥b，与a相交的直线c可以是直线B′C′，也可以是直线BB′.显然直线B′C′与b相交，BB′与b异面，故b与c的位置关系是异面或相交．答案：异面或相交探究点二公理4及等角定理[思考探究]观察下图中的∠AOB与∠A′O′B′.(1)这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？提示：分别对应平行．(2)测量一下，这两个角的大小关系如何？提示：相等．(3)怎样认识等角定理？名师指津：①等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用．②当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补．因此等角定理用来证明两个角相等或互补．[典例精析](1)在空间四边形ABCD中，如图1所示，AEAB＝AHAD，CFCB＝CGCD，则EH与FG的位置关系是________．(2)如图2所示，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E、F、E′、F′分别是AB、BC、A′B′、B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.[解析](1)连接BD，在△ABD中，AEAB＝AHAD，则EH∥BD，同理可得FG∥BD.所以EH∥FG.(2)证明：因为E、E′分别是AB、A′B′的中点，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四边形EBB′E′是平行四边形．所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.[答案](1)平行[类题通法]1．证明两条直线平行的方法(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．证明两个角相等的方法(1)利用等角定理；(2)利用三角形全等或相似．[针对训练]3．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A．全等B．相似C．仅有一个角相等D.无法判断解析：由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似．答案：B4．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.证明：(1)如题图，在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥GH.故E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.探究点三异面直线所成角的计算[典例精析]已知三棱锥ABCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．[思路点拨]根据条件和要求的角，解答本题要作出直线AB和MN所成的角，根据点M,N分别是BC，AD的中点，可考虑利用三角形中位线的性质作辅助线．[解]如图，取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，所以PM∥AB，且PM＝12AB；PN∥CD，且PN＝12CD，所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角，∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角．因为直线AB与CD成60°角，所以∠MPN＝60°或120°.又因为AB＝CD，所以PM＝PN，(1)若∠MPN＝60°，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.(2)若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.综上，直线AB与MN所成的角为60°或30°.[类题通法]求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ范围是0°θ≤90°.[针对训练]5．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22B.32C.52D.72解析：如图，连接BE，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝5，则tan∠EAB＝BEAB＝52，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为52.答案：C[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成的角．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法，见探究点一．(2)证明两条直线平行的方法，见探究点二．(3)求异面直线所成角的解题步骤，见探究点三．3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错，如探究点三．