搜索
第1页2．2圆的参数方程第2页知识探究第3页圆的参数方程(1)圆心在原点，半径为r的圆的参数方程为x＝rcosαy＝rsinα(α为参数)．参数α的几何意义是圆心O与圆上任意一点连线与x轴正方向的夹角．(2)圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为x＝a＋rcosαy＝b＋rsinα(α为参数)．第4页1.给定参数方程x＝a＋rcosαy＝b＋rsinα，其中a，b为常数．若r是常数，α是参数，则参数方程表示的曲线是以(a，b)为圆心，r为半径的圆；若α是常数，r是参数，则参数方程表示的曲线是经过定点(a，b)，斜率为tanα的直线．第5页因此，在使用参数方程时，一定要注意参数方程是以谁为参数，同一参数方程以不同的量为参数，它表示的曲线也就不同．同一条曲线，参数取的不同，就可以得到不同形式的参数方程．2．利用参数方程表示圆上的点，只用一个变量α，就可以表示圆上某一点的坐标，这要比用两个变量x，y表示圆上某一点更方便．因此涉及圆上某点的有关圆的证明题、轨迹题时，运用圆的参数方程来解决是一种行之有效的简便方法.第6页课时学案第7页题型一圆的参数方程例1如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．第8页【解析】方程x2＋y2－x＝0可化为(x－12)2＋y2＝14，圆的直径为1，x＝|OP|cosθ＝1×cosθ×cosθ，y＝|OP|sinθ＝1×cosθ×sinθ(θ为参数)，整理得圆的参数方程为x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)．【答案】x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)第9页探究1由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的量为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注意参数及参数的取值范围．第10页思考题1已知圆的普通方程为x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参数方程．【解析】由x2＋y2＋2x－6y＋9＝0得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.令x＋1＝cosθ，y－3＝sinθ，所以参数方程为x＝－1＋cosθ，y＝3＋sinθ(θ为参数)．第11页题型二利用圆的参数方程求最值例2(2016·昆明一中测试)已知点P(x，y)是圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上的动点，求：(1)x2＋y2的最值；(2)x＋y的最值；(3)P到直线x＋y－1＝0距离d的最值．第12页【解析】由x2＋y2－6x－4y＋12＝0得(x－3)2＋(y－2)2＝1，用参数方程表示为x＝3＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)．由于点P(x，y)在圆上，所以可设点P为(3＋cosθ，2＋sinθ)，第13页(1)x2＋y2＝(3＋cosθ)2＋(2＋sinθ)2＝14＋4sinθ＋6cosθ＝14＋213sin(θ＋φ)(其中tanφ＝32)，所以x2＋y2的最大值为4＋213，最小值为14－213.(2)因为x＋y＝3＋cosθ＋2＋sinθ＝5＋2sin(θ＋π4)，所以x＋y的最大值为5＋2，最小值为5－2.第14页(3)由点到直线的距离公式得d＝|3＋cosθ＋2＋sinθ－1|2＝|4＋2sin（θ＋π4）|2.当sin(θ＋π4)＝1时，d取最大值1＋22；当sin(θ＋π4)＝－1时，d取最小值22－1.第15页探究2(1)曲线上点的坐标由参数的值确定，因此通过解方程组，求出参数代入参数方程即可求出交点坐标．(2)涉及与圆有关的最值问题，可以利用参数方程来解决．第16页思考题2x2＋y2＝2y上的动点，(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．第17页【解析】圆的参数方程为x＝cosθ，y＝1＋sinθ.(1)2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝1＋5sin(θ＋φ)，∴1－5≤2x＋y≤1＋5.(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cosθ＋sinθ＋1)对一切θ∈R成立．又－(cosθ＋sinθ＋1)的最大值是2－1，∴当且仅当c≥2－1时x＋y＋c≥0恒成立．第18页题型三圆的参数方程的综合应用例3(2015·新课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα，(t为参数，t≠0)，其中0≤απ.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．第19页【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0，或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和(32，32)．第20页(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤απ.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4|sin(α－π3)|.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.第21页思考题3已知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为x＝2cosα，y＝2sinα(α为参数)．在以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－cosθ)＝1，直线l与圆O相交于A，B两点，求弦AB的长．第22页【解析】由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程x－y＋1＝0.圆O的普通方程为x2＋y2＝4.圆心(0，0)到直线l的距离d＝12＝22.∴|AB|＝222－（22）2＝14.第23页课后巩固第24页1．已知圆O的参数方程是x＝3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数，0≤θ2π)，如果圆上的点P所对应的参数是θ＝2π3，则点P的坐标是________．第25页答案(－32，332)解析把θ＝2π3代入参数方程，得x＝3cos2π3＝－32，y＝3sin2π3＝332.第26页2．圆心在点(－1，2)，半径为3的圆的参数方程是________．答案x＝－1＋3cosθ，y＝2＋3sinθ(θ为参数)解析圆心为C(a，b)，半径为r的圆的参数方程是x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ(θ为参数)．第27页3．若曲线C1：x＝rcosθy＝1＋rsinθ(θ为参数，r0)与曲线C2：x＝2ty＝－2＋2t(t为参数)有公共点，则r的取值范围是________．答案[322，＋∞)解析将直线与圆的参数方程化为普通方程后，根据圆心到直线的距离不大于半径可得半径的范围是[322，＋∞)．第28页4．(2016·九江模拟)已知P(x，y)是曲线x＝2＋cosαy＝sinα(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为________．第29页答案36解析曲线x＝2＋cosα，y＝sinα(α为参数)为圆心(2，0)，半径为1的圆，且(x－5)2＋(y＋4)2表示圆上的点与定点(5，－4)之间的距离的平方，圆心(2，0)与定点(5，－4)之间的距离为5，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.第30页5．已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．第31页解析(1)由ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0，得ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求．由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2.令x－2＝2cosα，y－2＝2sinα，得圆的参数方程为x＝2＋2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)．第32页(2)由上述可知，x＋y＝4＋2(cosα＋sinα)＝4＋2sin(α＋π4)，故x＋y的最大值为6，最小值为2.第33页