2019-2020学年高中数学 第二章 变化率与导数章末优化总结课件 北师大版选修2-2

考点1确定函数y＝f(x)在点x0处的导数确定函数y＝f(x)在点x0处导数的基本方法：(1)导数定义法：利用导数概念求函数y＝f(x)在点x0处的导数分三步进行：①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率(即增量比)ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；③取极限确定导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，导数的定义还可以写成f′(x0)＝limx→x0fx－fx0x－x0.(2)导函数的函数值法：利用导函数的函数值法求函数y＝f(x)在点x0处的导数分两步进行：①求函数f(x)在开区间(a，b)内的导数f′(x)；②将x0∈(a，b)代入导函数f′(x)得到函数值f′(x0)，即为函数y＝f(x)在点x0处的导数．已知f(x)＝3x2＋5，求f(x)在x＝3处的导数．[解析]由f(x)＝3x2＋5，得f′(x)＝6x，∴f(x)在x＝3处的导数为f′(3)＝18.考点2导数的几何意义求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0，y0)及斜率，其方法为：设P(x0，y0)是曲线y＝f(x)上的一点，则以P为切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线平行于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x＝x0.类型一已知切点，求曲线的切线方程此类题目较为简单，只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可．求曲线y＝sinx(1)在点A(π2，1)处的切线方程；(2)在点B(π3，32)处的切线方程．[解析](1)∵y′＝(sinx)′＝cosx，∴y′|x＝π2＝cosπ2＝0.∴y＝sinx在点A(π2，1)处的切线斜率k1＝0.∴切线方程为y＝1.(2)∵y′＝cosx，∴f′(π3)＝cosπ3＝12.∴y＝sinx在B(π3，32)处的切线斜率为k2＝12.∴切线方程为y－32＝12(x－π3)，即y＝12x＋32－π6.类型二已知斜率，求曲线的切线方程与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝12x2－72的切线方程是()A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．4x－2y－11＝0[解析]本题主要考查导数的几何意义和两直线平行的条件．设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝x0＝2.所以x0＝2，由此得到切点(2，－32)．故切线方程为y＋32＝2(x－2)，即4x－2y－11＝0，故选D.[答案]D类型三已知过曲线上的一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，用待定系数法求解．求过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．[解析]设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x20－2，所以切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)．y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－12.故所求切线方程为y－(－1)＝(3－2)(x－1)或y－(－18＋1)＝(34－2)(x＋12)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.考点3导数的计算需熟记导数公式，主要应用是求导函数的函数值．对于复合函数求导的关键是明确函数的复合过程，将其转化为基本初等函数的形式或直接能使用导数的运算法则进行求导的形式．函数和、差、积、商的导数运算法则可推广到有限个导数运算的四则运算．求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcosx；(3)y＝ex·lnx；(4)y＝lgx－1x2.[解析](1)y′＝－12x2.(2)y′＝(3x2＋xcosx)′＝6x＋cosx－xsinx.(3)y′＝exx＋ex·lnx.(4)y′＝1xln10＋2x3.