2019-2020学年高中数学 第二章 变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则课件 北师大版选修2

[自主梳理]一、复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b.给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作________，其中________为中间变量．二、复合函数的求导法则复合函数y＝f(φ(x))的导数为：y′(x)＝[f(φ(x))]′＝________.y＝f(φ(x))uf′(u)φ′(x)[双基自测]1．函数y＝(3x－4)2的导数是()A．4(3x－2)B．6xC．6x(3x－4)D．6(3x－4)解析：y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．答案：D2．函数y＝e2x－4在x＝2处的切线方程为()A．2x－y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．ex－y－2e＋1＝0D．ex＋y＋2e－1＝0解析：y′＝(e2x－4)′＝e2x－4·(2x－4)′＝2e2x－4，所以k＝2e2×2－4＝2.把x＝2代入y＝e2x－4，得y＝1，所以切点为(2,1)．所以函数y＝e2x－4在x＝2处的切线方程为y－1＝2(x－2)，所以2x－y－3＝0.答案：A3．已知函数f(x)＝(2x－1)2的导数为f′(x)，则f′(1)＝()A．1B．2C．3D．4解析：f′(x)＝2(2x－1)×2＝8x－4，则f′(1)＝8×1－4＝4.答案：D4．函数y＝cosπ4－3x的导数为________．5．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．解析：y′＝cosπ4－3x′＝－sinπ4－3x·(－3)＝3sinπ4－3x.3sinπ4－3x10解析：f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，∴f′(0)＝10.探究一复合函数的导数运算[例1]求下列函数的导数：(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；(3)y＝e2x＋1；(4)y＝2x－1；(5)y＝sin(3x－π4)；(6)y＝cos2x.[解析](1)y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.(2)y′＝16x＋4·(6x＋4)′＝33x＋2.(3)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1.(4)y′＝122x－1·(2x－1)′＝12x－1.(5)y′＝cos(3x－π4)·(3x－π4)′＝3cos(3x－π4)．(6)设y＝u2，u＝cosx，则y′x＝y′u·u′x＝2u·(－sinx)＝－2sinxcosx＝－sin2x.复合函数求导的关键是选择中间变量，必须正确分析复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，要善于把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量，求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏．此外，还应特别注意求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．1．求下列函数的导数：(1)y＝11－3x4；(2)y＝sinx2；(3)y＝sin2(2x＋π3)；(4)y＝1＋x2.解析：(1)令u＝1－3x，则y＝u－4，y′＝y′u·u′x＝－4u－5·(1－3x)′＝12u－5＝121－3x5.(2)令u＝x2，则y＝sinu，所以y′＝cosu·u′＝cosx2·2x＝2xcosx2.(3)令y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则y′＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝2sin(2x＋π3)·cos(2x＋π3)·2＝2sin(4x＋2π3)．(4)令u＝1＋x2，则y＝u＝u12，∴y′＝12u－12·(1＋x2)′＝x1＋x2.探究二复合函数导数的综合问题[例2]某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sinπ12t＋5π6(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．[解析]设f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝π12t＋5π6.由复合函数求导法则得s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cosx·π12＝π4cosπ12t＋5π6.将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝π4cos7π3＝π8(m/h)．它表示当t＝18h时，潮水的高度上升的速度为π8m/h.将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．2．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－t30，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝()A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克解析：∵M′(t)＝－130M02－t30·ln2，∴M′(30)＝－130×12M0ln2＝－10ln2，∴M0＝600.∴M(t)＝600×2－t30，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．答案：D对复合函数求导因层次不清而致误[例3]函数y＝sinnxcosnx的导数为________．[解析]y′＝(sinnx)′cosnx＋sinnx(cosnx)′＝nsinn－1x(sinx)′cosnx＋sinnx(－sinnx)·(nx)′＝nsinn－1xcosx·cosnx－sinnxsinnx·n＝nsinn－1x(cosxcosnx－sinxsinnx)＝nsinn－1xcos[(n＋1)x]．[答案]nsinn－1xcos[(n＋1)x][错因与防范]本题解答过程中对cosnx求导时，易漏掉对nx求导而导致求导错误．对较复杂函数求异时，先判定该函数是否为复合函数，若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明．